连续时间系统的频域分析(I)

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1、第三章连续时间系统的频域分析本章将学习从频域对信号与系统进行分析,也称为傅立叶分析.傅立叶分析的研究与应用已经经历了一百余年.1822年数学家傅立叶提出并证明了将周期函数展开为正弦级数的原理，其后泊松、高斯等人将其应用到电学中.19世纪末,人们制造出电容器,到20世纪初,谐振电路、滤波器、正弦振荡器等的实现为傅立叶分析的进一步应用开辟了广阔前景.20世纪70年代,傅立叶分析逐步应用到通信、数字信号处理等领域,出现了快速傅立叶变换.如今傅立叶技术不仅应用于电力工程、通信和控制领域，而且还应用于力学、光学、量子物理等其他领域。本章的主要内容3.1傅里叶级数及周期信号的频谱3.2非周期信号的频谱--

2、傅里叶变换3.3傅里叶变换的基本性质3.4周期信号的傅里叶变换以及取样定理3.5LTI系统的频域分析3.6能量谱和功率谱第一节傅里叶级数及周期信号的频谱3.1.1信号正交与正交函数集1.正交定义定义在(t1，t2)区间的两个函数1(t)和2(t),若满足:(两函数的内积为0)则称1(t)和2(t)在区间(t1，t2)内正交.2.正交函数集：若n个函数1(t),2(t),…,n(t)构成一个函数集,当这些函数在区间(t1，t2)内满足傅里叶级数及周期信号的频谱傅里叶级数及周期信号的频谱则称此函数集为在区间(t1，t2)的正交函数集.3.完备正交函数集：如果在正交函数集{1(t),

3、2(t),…,n(t)}之外,不存在函数(t)(≠0）满足则称此函数集为完备正交函数集.例如:三角函数集{1,cos(nΩt),sin(nΩt)，n=1,2,…}和虚指数函数集{ejnΩt,n=0,±1,±2,…}是两组典型的在区间(t0,t0+T))(T=2π/Ω)上的完备正交函数集.傅里叶级数及周期信号的频谱4信号的正交分解设有n个函数1(t),2(t),…,n(t)在区间(t1,t2)构成一个正交函数空间.将任一函数f(t)用这n个正交函数的线性组合来近似,可表示为f(t)≈C11+C22+…+Cnn如何选择各系数Cj使f(t)与近似函数之间误差在区间(t1,t2)内为

4、最小。通常使误差的方均值(称为均方误差)最小.均方误差:傅里叶级数及周期信号的频谱现求使得均方误差最小的线性组合系数Ci(第i个系数)展开上被积函数并求导.上式中只有两项不为0,写为即:所以系数傅里叶级数及周期信号的频谱代入,得最小均方误差(推导过程见教材)在用正交函数去近似f(t)时,所取得项数越多,即n越大,则均方误差越小.当n→∞时,均方误差为零.此时有上式称为(Parseval)巴塞瓦尔(帕塞瓦尔)公式,表明:在区间(t1,t2)f(t)所含能量恒等于f(t)在完备正交函数集中分解的各正交分量能量的总和.函数f(t)可分解为无穷多项正交函数之和3.1.2周期函数的傅里叶级数傅里叶级数及

5、周期信号的频谱1傅里叶级数的三角形式设周期信号f(t)，其周期为T，角频率=2/T，当满足狄里赫利(狄利克雷)(Dirichlet)条件时，它可分解为三角级数--称为f(t)的傅里叶级数an,bn称为傅里叶系数※可见,an是n的偶函数,bn是n的奇函数.傅里叶级数及周期信号的频谱式中,A0=a0因此周期信号可分解为直流分量和许多余弦分量.其中,A0/2为直流分量；A1cos(t+1)称为基波或一次谐波,它的角频率与原周期信号相同;A2cos(2t+2)称为二次谐波,它的频率是基波的2倍;Ancos(nt+n)称为n次谐波.※可见An是n的偶函数,n是n的奇函数.将上式同频率项

6、合并,可写为an=Ancosn，bn=-Ansinn，n=1,2,…傅里叶级数及周期信号的频谱2波形的对称性与谐波特性(1)f(t)为偶函数--对称纵坐标bn=0,展开为余弦级数。(2)f(t)为奇函数--对称于原点an=0,展开为正弦级数。实际上,任意函数f(t)都可分解为奇函数和偶函数两部分,即f(t)=fo(t)+fe(t)其中傅里叶级数及周期信号的频谱(3)f(t)为奇谐函数--f(t)=-f(t±T/2),也称半波对称.此时其傅里叶级数中只含奇次谐波分量,而不含偶次谐波分量即a0=a2=…=b2=b4=…=0表示对称区间上f(t)包含的面积,可见面积为零,因此说明没有直流分量.简

7、单证明:设f1(t)为函数f(t)在区间上的部分,而f2(t)为区间上的部分,则有:或者傅里叶级数及周期信号的频谱换元:可见,an只有奇次项,对于bn的证明大家按相同的方法可以证明,此处不再证.傅里叶级数及周期信号的频谱例题1求周期锯齿波的三角函数傅里叶级数.直流基波谐波傅里叶级数及周期信号的频谱例题2将f(t)展开为傅立叶级数.傅里叶级数及周期信号的频谱例题3将f(t)展开为傅立叶级数.傅里叶级