一圆为背景的相似三角形计算与证明教案

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1、授课时间第周年月日星期序号主备人复备人课题专题提升：以圆为背景的相似三角形的计算与证明备课时间复备时间组长签字教学目标1、训练学生相似三角形判定定理与性质圆的性质的灵活应用2、能运用圆的性质证明和计算相似三角形的一些实际问题.教学重点相似三角形判定定理与性质的灵活应用，圆中与角度有关性质的运用教学难点准确利用圆的性质证明相似三角形和与相似有关的计算教学过程相似三角形与圆综合探究题，综合性强，有一定的难度，有时还会作为“压轴题”，解此类题通常需要熟练掌握相似三角形与圆相关的基本知识和基本技能，求解时

2、注意运用有关性质，进行综合、分析、探究解题思路【教材原型】　如图Z13－1，DB为半圆的直径，A为BD延长线上的一点，AC切半圆于点E，BC⊥AC于点C，交半圆于点F.已知AC＝12，BC＝9，求AO的长．(浙教版九下P44作业题第5题)解：如答图，连结OE，设⊙O的半径是R，则OE＝OB＝R.在Rt△ACB中，由勾股定理得AB＝＝15.∵AC切半圆O于E，∴OE⊥AC，∴∠OEA＝90°＝∠C，∴OE∥BC，∴△AEO∽△ACB，∴＝，∴＝，解得R＝，∴AO＝AB－OB＝15－R＝.【思想方法】

3、　利用圆的切线垂直于过切点的半径构造直角三角形，从而得到相似三角形，利用比例线段求AO的长．【中考变形】1．[2015·贵州]如图Z13－2，在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，点O是AC边上的一点，以O为圆心，OC为半径的圆与AB相切于点D，连结OD.(1)求证：△ADO∽△ACB；(2)若⊙O的半径为1，求证：AC＝AD·BC.证明：(1)∵AB是⊙O的切线，∴OD⊥AB，∴∠C＝∠ADO＝90°，∵∠A＝∠A，∴△ADO∽△ACB；(2)由(1)知△ADO∽△ACB.∴＝，∴AD·BC＝AC

4、·OD，∵OD＝1，∴AC＝AD·BC.2．[2014·枣庄]如图Z13－3，A为⊙O外一点，AB切⊙O于点B，AO交⊙O于C，CD⊥OB于E，交⊙O于点D，连结OD，若AB＝12，AC＝8.(1)求OD的长；(2)求CD的长．解：(1)∵AB切⊙O于点B，∴AB⊥OB，∴△OBA是直角三角形，又∵AB＝12，AC＝8，由勾股定理得OB2＋AB2＝OA2，即OD2＋122＝(OD＋8)2，解得OD＝5；(2(2)∵CD⊥OB，AB⊥OB，∴EC∥AB，∴＝，即＝，∴EC＝，又∵CD⊥OB，∴CD＝

5、2EC＝.[2015·怀化]如图Z13－4，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，E是BC的中点，以AC为直径的⊙O与AB边交于点D，连结DE.(1)求证：△ABC∽△CBD；(2)求证：直线DE是⊙O的切线．证明：(1)∵AC为⊙O的直径，∴∠ADC＝90°，∴∠BDC＝90°，又∵∠ACB＝90°，∴∠ACB＝∠BDC，又∵∠B＝∠B，∴△ABC∽△CBD；(2)连结DO，如答图，∵∠BDC＝90°，E为BC的中点，∴DE＝CE＝BE，∴∠EDC＝∠ECD，又∵OD＝OC，∴∠ODC＝∠OCD，

6、而∠OCD＋∠DCE＝∠ACB＝90°，∴∠EDC＋∠ODC＝90°即∠EDO＝90°，∴DE⊥OD，∴DE与⊙O相切．如图Z13－5，已知AB是⊙O的直径，BC⊥AB，连结OC，弦AD∥OC，直线CD交BA的延长线于点E.(1)求证：直线CD是⊙O的切线；(2)若DE＝2BC，求AD∶OC的值．解：(1)证明：如答图，连结DO.∵AD∥OC，∴∠DAO＝∠COB，∠ADO＝∠COD.∵OA＝OD，∴∠DAO＝∠ADO，∴∠COD＝∠COB.又∵CO＝CO，OD＝OB，∴△COD≌△COB，∴∠C

7、DO＝∠CBO＝90°，即OD⊥CD.又∵点D在⊙O上，∴直线CD是⊙O的切线；(2)由(1)知△COD≌△COB，∴CD＝CB.∵DE＝2BC，∴DE＝2CD.∵AD∥OC，∴△EDA∽△ECO，∴＝＝＝.[2014·东营]如图Z13－6，AB是⊙O的直径，OD垂直于弦AC于点E，且交⊙O于点D.F是为BA延长线上一点，若∠CDB＝∠BFD.(1)求证：FD是⊙O的一条切线；(2)若AB＝10，AC＝8，求DF的长．解：(1)证明：∵∠CDB＝∠BFD，∠CDB＝∠CAB，∴∠BFD＝∠CAB，

8、∴FD∥AC，∵OD垂直于弦AC，∴OD⊥FD，∴FD是圆O的一条切线；(2)∵AB是⊙O的直径，AB＝10，∴∠ACB＝90°，半径OA＝OB＝OD＝5，在Rt△ABC中，AB＝10，AC＝8，由勾股定理得BC＝6，∵OD⊥AC，∴AE＝CE＝AC＝4，∵OA＝OB，∴OE＝BC＝3，∵FD∥AE，∴△OAE∽△OFD，∴＝，∴FD＝·AE＝×4＝.∴DF的长为.[2015·湖北改编]如图Z13－7，AB是⊙O的直径，点C为⊙O上一点，AE和过点C的切线互相垂直，垂足为E，AE交