2011几何综合题专项训练及答案

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1、几何综合题专项训练1．(2010广西贵港)如图，扇形OAB的半径OA＝r，圆心角∠AOB＝90º，点C是上异于A、B的动点，过点C作CD⊥OA于点D，作CE⊥OB于点E，点M在DE上，DM＝2EM，过点C的直线CP交OA的延长线于点P，且∠CPO＝∠CDE．(1)求证：DM＝r；(2)求证：直线CP是扇形OAB所在圆的切线；(3)设y＝CD2＋3CM2，当∠CPO＝60º时，请求出y关于r的函数关系式．2.已知：线段OA⊥OB，点C为OB中点，D为线段OA上一点。连结AC，BD交于点P．(1)如图1，当OA=OB，且D为OA中点时

2、，求的值；(2)如图2，当OA=OB，且时，求tan∠BPC的值．(3)如图3，当AD∶AO∶OB=1∶n∶时，直接写出tan∠BPC的值．（图1）（图2）（图3）ABCDPOE2.解：(1)延长AC至点E，使CE=CA，连接BE，∵C为OB中点，∴△BCE@△OCA，∴BE=OA，ÐE=ÐOAC，∴BE//OA，∴△APD~△EPB，∴=。又∵D为OA中点，OA=OB，∴==。∴==，∴=2。DCOPHAB(2)延长AC至点H，使CH=CA，连结BH，∵C为OB中点，∴△BCH@△OCA，∴ÐCBH=ÐO=90°，BH=OA。由

3、=，设AD=t，OD=3t，则BH=OA=OB=4t。在Rt△BOD中，BD==5t，∵OA//BH，∴△HBP~△ADP，∴===4。∴BP=4PD=BD=4t，∴BH=BP。∴tanÐBPC=tanÐH===。(3)tanÐBPC=。3.已知AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，连接AC，过点C作CD⊥AB于点D．(1)当点E为DB上任意一点(点D、B除外)时，连接CE并延长交⊙O于点F，AF与CD的延长线交于点G(如图①)．求证：AC2＝AG·AF．(2)李明证明(1)的结论后，又作了以下探究：当点E为AD上任意一点(点A、D除

4、外)时，连接CE并延长交⊙O于点F，连接AF并延长与CD的延长线在圆外交于点G，CG与⊙O相交于点H(如图②)．连接FH后，他惊奇的发现∠GFH＝∠AFC．根据这一条件，可证GF·GA＝GH·GC．请你帮李明给出证明．AAAABBBBCCCCDDDDOOOOEEEEFFFFGGGHGH图①图②图③图④(3)当点E为AB的延长线上或反向延长线上任意一点(点A、B除外)时，如图③、④所示，还有许多结论成立．请你根据图③或图④再写出两个类似问题(1)、(2)的结论(两角、两弧、两线段相等或不相等的关系除外)(不要求证明)．3．(1)证明

5、：延长CG交⊙O于H，∵CD⊥AB∴AB平分CH∴弧CH＝弧AH∴∠ACH＝∠AFC又∠CAG＝∠FAC△AGC∽△ACF∴＝即AC2＝AG·AF(2)∵CH⊥AB∴弧AC＝弧AH∴∠AFC＝∠ACG又∠AFC＝∠GFH∴∠ACG＝∠GFH又∠G＝∠C∴△GFH∽△GCA∴＝∴GF·GA＝GC·CH(3)CD2＝AD·DBAC2＝AD·ABEF·EC＝EA·EBAF·GA＝AD·AB（4.如图，已知AB是⊙O的直径，AC是⊙O的弦，点D是ABC的中点，弦DE⊥AB，垂足为F，DE交AC于点G.（1）图中有哪些相等的线段？（要求：不

6、再标注其他字母，找结论的过程中所作的辅助线不能出现在结论中，不写出推理过程）（2）若过点E作⊙O的切线ME，交AC的延长线于点M（请补完整图形），试问：ME=MG是否成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由.（3）在满足第（2）问的条件下，已知AF=3，FB=，求AG与GM的比.〖第（1）的结论可直接利用〗5.（1）如图1，当∠ABC＝45°时，求证：AE＝MD；（2）如图2，当∠ABC＝60°时，则线段AE、MD之间的数量关系为：。（3）在（2）的条件下延长BM到P，使MP＝BM，连接CP，若AB＝7，AE＝，求tan∠ACP

7、的值．6.如图1所示，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，∠DCB=75º，以CD为一边的等边△DCE的另一顶点E在腰AB上．（1）求∠AED的度数；（2）求证：AB=BC；ABCDEF图2ABCDE图1（3）如图2所示，若F为线段CD上一点，∠FBC=30º．求的值．6.解：(1)∵∠BCD=75º，AD∥BC∴∠ADC=105º由等边△DCE可知：∠CDE=60º，故∠ADE=45º由AB⊥BC，AD∥BC可得：∠DAB=90º，∴∠AED=45º(2)方法一：由(1)知：∠AED=45º，∴AD=AE，故点A在线段

8、DE的垂直平分线上．由△DCE是等边三角形得：CD=CE，故点C也在线段DE的垂直平分线上．∴AC就是线段DE的垂直平分线，即AC⊥DE连接AC，∵∠AED=45º，∴∠BAC=45º，又AB⊥BC∴BA=BC方法二：过D点作DF⊥BC，交BC于点