历年株洲压轴题

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1、2011株洲压轴题（本题满分10分）孔明是一个喜欢探究钻研的同学，他在和同学们一起研究某条抛物线的性质时，将一把直角三角板的直角顶点置于平面直角坐标系的原点，两直角边与该抛物线交于、两点，请解答以下问题：（1）若测得（如图1），求的值；（2）对同一条抛物线，孔明将三角板绕点旋转到如图2所示位置时，过作轴于点，测得，写出此时点的坐标，并求点的横坐标；（3）对该抛物线，孔明将三角板绕点旋转任意角度时惊奇地发现，交点、的连线段总经过一个固定的点，试说明理由并求出该点的坐标．图1图2答案24.解：（1）设线段与轴的交点为，由抛物线的对称性可得为中点，，，，(，)………2分将(，)代入抛物线得

2、，.………3分（2）解法一：过点作轴于点，点的横坐标为，(1，)，…4分.又，易知，又，△∽△，………5分设点（，）（），则，，，即点的横坐标为.………6分解法二：过点作轴于点，点的横坐标为，(1，)，………4分，易知，，………5分设点（-，）（），则，，解得：，即点的横坐标为.………6分（3）解法一：设（，）（），（，）（），设直线的解析式为：，则，………7分得，，[来源:学。科。网Z。X。X。…8分又易知△∽△，，，………9分.由此可知不论为何值，直线恒过点（，）………10分（说明：写出定点的坐标就给2分）2010株洲压轴题22．（本题满分8分）如图，直角中，，，，点为边上一动点

3、，∥，交于点，连结．（1）求、的长；（2）设的长为，的面积为．当为何值时，最大，并求出最大值．23．（本题满分10分）在平面直角坐标系中，抛物线过原点O，且与轴交于另一点，其顶点为．孔明同学用一把宽为带刻度的矩形直尺对抛物线进行如下测：①量得；②把直尺的左边与抛物线的对称轴重合，使得直尺左下端点与抛物线的顶点重合（如图1），测得抛物线与直尺右边的交点的刻度读数为．请完成下列问题：（1）写出抛物线的对称轴；（2）求抛物线的解析式；图1图2·B（3）将图中的直尺（足够长）沿水平方向向右平移到点的右边（如图2），直尺的两边交轴于点、，交抛物线于点、．求证：．（1）　………2分（2）设抛物线

4、的解析式为：，当时，，即；当时，，即，依题意得：，解得：．∴抛物线的解析式为：．………6分（3）方法一：过点作，垂足为，设，，得：①②又，得，分别代入①、②得：，∴得：[来源:学*科*网]又∴………10分方法二：过点作，垂足为，设，则，得：∵∴………1022．（本题满分10分）如图1，中，，，点在线段上运动，点、分别在线段、上，且使得四边形是矩形．设的长为，矩形的面积为，已知是的函数，其图象是过点（12，36）的抛物线的一部分（如图2所示）．O（1）求的长；（2）当为何值时，矩形的面积最大，并求出最大值．图1图22009株洲压轴题．（本题满分12分）如图，已知为直角三角形，，,点、在

5、轴上，点坐标为（，）（），线段与轴相交于点，以（1，0）为顶点的抛物线过点、．（1）求点的坐标（用表示）；（2）求抛物线的解析式；（3）设点为抛物线上点至点之间的一动点，连结并延长交于点，连结并延长交于点，试证明：为定值．（1）由可知，，又△ABC为等腰直角三角形，∴，，所以点A的坐标是（）.…………………3分（2）∵∴，则点的坐标是（）.又抛物线顶点为，且过点、，所以可设抛物线的解析式为：，得：解得∴抛物线的解析式为………7分（3）过点作于点，过点作于点，设点的坐标是，则，.∵∴∽∴即，得∵∴∽∴即，得又∵∴即为定值8.……………………12分26．如图，在平面直角坐标系中，矩形OA

6、BC的两边分别在x轴和y轴上，cm，OC=8cm，现有两动点P、Q分别从O、C同时出发，P在线段OA上沿OA方向以每秒cm的速度匀速运动，Q在线段CO上沿CO方向以每秒1cm的速度匀速运动．设运动时间为t秒．（1）用t的式子表示△OPQ的面积S；（2）求证：四边形OPBQ的面积是一个定值，并求出这个定值；BAPxCQOy第26题图（3）当△OPQ与△PAB和△QPB相似时，抛物线经过B、P两点，过线段BP上一动点M作轴的平行线交抛物线于N，当线段MN的长取最大值时，求直线MN把四边形OPBQ分成两部分的面积之比．26．（本题满分10分）如图，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，以线段

7、AB为直径作⊙C，抛物线过A、C、O三点．(1)求点C的坐标和抛物线的解析式；(2)过点B作直线与x轴交于点D，且OB2=OA·OD，求证：DB是⊙C的切线；(3)抛物线上是否存在一点P，使以P、O、C、A为顶点的四边形为直角梯形，如果存在，求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由．26．（本题满分10分）如图，二次函数（）的图象与轴交于两点，与轴相交于点．连结两点的坐标分别为、，且当和时二次函数的函数值相等．（1）求实数的值；（2）若点同时从点出发，均以每