次课第82向量的数量积、向量积、混合积

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1、课堂练习：第二节数量积向量积*混合积指导书P16-19(二)5，(三)4教学目的：使学生理解向量的数量积、向量积、混合积的定义，掌握向量这三种运算的坐标表示及它们应用.*三、向量的混合积第二节一、两向量的数量积二、两向量的向量积数量积向量积*混合积第八章一、两向量的数量积(也称点积、内积)引例.沿与力夹角为的直线移动,1.定义设向量的夹角为,称数量积(点积).设一物体在常力作用下,则力所做的功为位移为,记作故2.性质为两个非零向量,则有3.运算律(1)交换律(2)结合律(3)分配律事实上,当时,显然成立;例1.利用向量证明三角形余弦定理证:则如

2、图，设4.数量积的坐标表示设则设则当为非零向量时,两向量的夹角的余弦公式：由此可知两向量数量积的坐标公式数量积的应用：1.求两向量的夹角;3.求一向量在另一向量方向上的投影.2.判别两向量是否垂直;其的夹角余弦例2.已知三点AMB.解:则求故例3.解：二、两向量的向量积(也称叉积、外积)引例.设O为杠杆L的支点,有一个与杠杆夹角为符合右手规则矩是一个向量M:的力F作用在杠杆的P点上,则力F作用在杠杆上的力1.定义定义向量方向:即符合右手规则模:向量积,称引例中的力矩思考:右图三角形面积S＝几何意义：2.性质为非零向量,则∥∥3.运算律(2)

3、分配律(3)结合律(证明略)证明:4.向量积的坐标表示式设则按第一行展开法则把行列式的某一行的各元素乘以同一数k加到另一行对应的元素上去，行列式值不变．性质3：性质1：性质2：向量积的行列式计算法由上式可推出例如，向量积的应用：1.求与两向量同时垂直的向量;3.判别两向量是否平行;2.求三角形或平行四边形的面积.例4.已知三点求三角形ABC的面积.解:如图所示,例5.解:课堂练习1.设计算并求夹角的正弦与余弦.答案:2.设则2.用向量方法证明正弦定理:证:由三角形面积公式所以因并思考：分析：课堂练习：指导书P19(二)19，20，221.设则*

4、三、向量的混合积1.定义已知三向量称数量混合积.记作几何意义：为棱作平行六面体,底面积高故平行六面体体积为则其2.混合积的坐标表示设3.性质(1)三个非零向量共面(2)轮换对称性:(可用三阶行列式推出)混合积的应用：判别三个向量(或四个点)是否共面.(由行列式性质推出)例5.证明四点共面.解:故A,B,C,D四点共面.因为例6.已知A(1,2,0)、B(2,3,1)、C(4,2,2)、四点共面,求点M的坐标x、y、z所满足的方程.解:A、B、C、M四点共面展开行列式即得点M的坐标所满足的方程AM、AB、AC三向量共面即内容小结设1.向量运算加减:

5、数乘:点积:叉积:混合积:2.向量关系:作业书上P222，3，8，10书上P518