复变函数(西交大)第七讲

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1、第七讲泰勒(Taylor)级数罗朗(Laurent)级数1.泰勒展开定理2.展开式的唯一性3.简单初等函数的泰勒展开式§4.3泰勒(Taylor)级数1.泰勒(Taylor)展开定理现在研究与此相反的问题：一个解析函数能否用幂级数表达?(或者说,一个解析函数能否展开成幂级数?解析函数在解析点能否用幂级数表示？）由§4.2幂级数的性质知:一个幂级数的和函数在它的收敛圆内部是一个解析函数。以下定理给出了肯定回答：任何解析函数都一定能用幂级数表示。定理（泰勒展开定理）Dk分析：代入(1)得Dkz---(*)得证！证明(不讲)(不讲)证明(不讲)2.展开式

2、的唯一性结论解析函数展开成幂级数是唯一的，就是它的Taylor级数。利用泰勒级数可把解析函数展开成幂级数，这样的展开式是否唯一？事实上，设f(z)用另外的方法展开为幂级数:由此可见，任何解析函数展开成幂级数就是Talor级数，因而是唯一的。---直接法---间接法代公式由展开式的唯一性，运用级数的代数运算、分析运算和已知函数的展开式来展开函数展开成Taylor级数的方法：3.简单初等函数的泰勒展开式例1解上述求sinz,cosz展开式的方法即为间接法.例2把下列函数展开成z的幂级数:解(2)由幂级数逐项求导性质得：(1)另一方面，因ln(1+z)在

3、从z=-1向左沿负实轴剪开的平面内解析，ln(1+z)离原点最近的一个奇点是-1,它的展开式的收敛范围为z<1.定理1.预备知识2.双边幂级数3.函数展开成双边幂级数4.展开式的唯一性§4.4罗朗(Laurent)级数由§4.3知,f(z)在z0解析，则f(z)总可以在z0的某一个圆域z-z0

4、以展开成级数，只是这个级数含有负幂次项,即本节将讨论在以z0为中心的圆环域内解析的函数的级数表示法。它是后面将要研究的解析函数在孤立奇点邻域内的性质以及定义留数和计算留数的基础。1.预备知识Cauchy积分公式的推广到复连通域---见第三章第18题Dz0R1R2rRk1k2D1z2.双边幂级数---含有正负幂项的级数定义形如---双边幂级数正幂项(包括常数项)部分：负幂项部分：级数(2)是一幂级数，设收敛半径为R2，则级数在z-z0=R2内收敛，且和为s(z)+;在z-z0=R2外发散。z0R1R2z0R2R1(2)在圆环域的边界z-z0

5、=R1,z-z0=R2上,3.函数展开成双边幂级数定理证明由复连通域上的Cauchy积分公式：Dz0R1R2rRk1k2D1z记为I1记为I2式(*1),(*2)中系数cn的积分分别是在k2，k1上进行的，在D内取绕z0的简单闭曲线c，由复合闭路定理可将cn写成统一式子：证毕！级数中正整次幂部分和负整次幂部分分别称为洛朗级数的解析部分和主要部分。(2)在许多实际应用中，经常遇到f(z)在奇点z0的邻域内解析，需要把f(z)展成级数，那么就利用洛朗（Laurent）级数来展开。级数中正整次幂部分和负整次幂部分分别称为洛朗级数的解析部分和主要部分

6、。4.展开式的唯一性结论一个在某一圆环域内解析的函数展开为含有正、负幂项的级数是唯一的，这个级数就是f(z)的洛朗级数。事实上，Dz0R1R2cDz0R1R2c由唯一性，将函数展开成Laurent级数，可用间接法。在大都数情况，均采用这一简便的方法求函数在指定圆环域内的Laurent展开式，只有在个别情况下，才直接采用公式(5')求Laurent系数的方法。例1解例2解例3解例4xyo12xyo12xyo12解:没有奇点注意首项(2)对于有理函数的洛朗展开式，首先把有理函数分解成多项式与若干个最简分式之和，然后利用已知的几何级数，经计算展成需要的形

7、式。小结：把f(z)展成洛朗(Laurent)级数的方法：解(1)在(最大的)去心邻域例5yxo12(2)在(最大的)去心邻域xo12练习：(2)根据区域判别级数方式：在圆域内需要把f(z)展成泰勒(Taylor)级数，在环域内需要把f(z)展成洛朗(Laurent)级数。(3)Laurent级数与Taylor级数的不同点：Taylor级数先展开求R,找出收敛域。Laurent级数先求f(z)的奇点，然后以z0为中心，奇点为分隔点，找出z0到无穷远点的所有使f(z)解析的环，在环域上展成级数。作业P14312(1)(3),16(2)(3)