【7A版】2011年考研数学三真题及答案

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1、7A版优质实用文档20GG年考研数学三真题一、选择题（1~8小题，每小题4分，共32分。下列媒体给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的。）(1)已知当x→0时，fx=3sinx-sin3x与cxk是等价无穷小，则(A)k=1,c=4(B)k=1,c=-4(C)k=3,c=4(D)k=3,c=-4【答案】C。【解析】【方法一】limx→03sinx-sin3xcxk=limx→03cosx-3cos3xckxk-1(洛必达法则)=3limx→0-sinx+3sin3xck(k-1)xk-2(洛必达法则)=1c(limx→0-sinx2x+limx→03sin3x2x)(

2、k=3)=1c-12+92=1由此得c=4。【方法二】由泰勒公式知sinx=x-x33!+o(x3)sin3x=3x-3x33!+o(x3)则fx=3sinx-sin3x=3x-x32-3x+3x33!+o(x3)=4x3+ox3~4x3(x→0)故k=3,c=4。【方法三】limx→03sinx-sin3xcxk=limx→03sinx-3x+3x-sin3xcxk=1climx→03sinx-xxk+limx→03x-sin3xxk157A版优质实用文档7A版优质实用文档=1climx→03∙(-16x3)xk+limx→016(3x)3xk=1c-12+92(k=3)=

3、82c=1故c=4综上所述，本题正确答案是C。【考点】高等数学—函数、极限、连续—无穷小量的性质及无穷小量的比较，极限的四则运算高等数学—一元函数微分学—洛必达(L'Hospital)法则(1)已知f(x)在x=0处可导，且f0=0,则limx→0x2fx-2f(x3)x3=(A)-2f'(0)(B)-f'(0)(C)f'(0)(D)0【答案】B。【解析】【方法一】加项减项凑x=0处导数定义limx→0x2fx-2f(x3)x3=limx→0x2fx-x2f0-2fx3+2f(0)x3=limx→0fx-f0x-2fx3-f(0)x3=f'0-2f'0=-f'(0)【方法二】

4、拆项用导数定义limx→0x2fx-2f(x3)x3=limx→0fxx-2limx→0fx3x3由于f0=0，由导数定义知limx→0fxx=f'0,limx→0fx3x3=f'(0)所以limx→0x2fx-2f(x3)x3=f'0-2f'0=-f'(0)【方法三】排除法：选择符合条件的具体函数fx=x,则limx→0x2fx-2f(x3)x3=limx→0x3-2x3x3=-1157A版优质实用文档7A版优质实用文档而对于fx=x.f'0=1,显然选项(A)(C)(D)都是错误的，故应选(B)【方法四】由于f(x)在x=0处可导，则fx=f0+f'0x+ox=f'0x+

5、o(x)fx3=f'0x3+o(x3)limx→0x2fx-2f(x3)x3=limx→0x2[f'0x+o(x)]-2[f'0x3+o(x3)]x3=f'0-2f'0=-f'(0)综上所述，本题正确答案是B。【考点】高等数学—一元函数微分学—导数和微分的概念，导数和微分的四则运算(1)设{un}是数列，则下列命题正确的是(A)若n=1∞un收敛，则n=1∞(u2n-1+u2n)收敛。(B)若n=1∞(u2n-1+u2n)收敛，则n=1∞un收敛。(C)若n=1∞un收敛，则n=1∞(u2n-1-u2n)收敛。(D)若n=1∞(u2n-1-u2n)收敛，则n=1∞un收敛。【

6、答案】A。【解析】若n=1∞un收敛，则该级数加括号后得到的级数仍收敛综上所述，本题正确答案是A。【考点】高等数学—无穷级数—级数的基本性质与收敛的必要条件(2)设I=0π4lnsinxdx,J=0π4lncotxdx,K=0π4lncosxdx,则I,J,K的大小关系为(A)I

7、sx