[理学]中南大学数理统计课件

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1、第七章参数估计总体是由总体分布来刻画的.总体分布类型的判断──在实际问题中,我们根据问题本身的专业知识或以往的经验或适当的统计方法,有时可以判断总体分布的类型.总体分布的未知参数的估计──总体分布的参数往往是未知的,需要通过样本来估计.通过样本来估计总体的参数,称为参数估计,它是统计推断的一种重要形式.本章讨论:参数估计的常用方法.估计的优良性准则.若干重要总体的参数估计问题.这类问题称为参数估计.参数估计问题的一般提法X1,X2,…,Xn要依据该样本对参数作出估计，或估计的某个已知函数.现从该总体抽样，得样本设有一个统计总体，总体的分布函数向量).为F(x,)，其中为未知参数(可以是参数

2、估计点估计区间估计一、点估计概念及讨论的问题例1已知某地区新生婴儿的体重X~随机抽查100个婴儿得100个体重数据,得100个体重数据9,7,6,6.5,5,5.2,…而全部信息就由这100个数组成.呢?据此,我们应如何估计和为估计,我们需要构造出适当的样本的函数T(X1,X2,…,Xn)，每当有了样本，就代入该函数中算出一个值,用来作为的估计值.把样本值代入T(X1,X2,…,Xn)中，得到的一个点估计值.T(X1,X2,…Xn)称为参数的点估计量，二、寻求估计量的方法1.矩估计法2.极大似然法3.最小二乘法4.贝叶斯方法……这里我们主要介绍前面两种方法.其基本思想是用样本矩估计总体矩.

3、理论依据:矩是基于一种简单的“替换”思想建立起来的一种估计方法.是英国统计学家K.皮尔逊最早提出的.大数定律1.矩估计记总体k阶矩为样本k阶矩为用相应的样本矩去估计总体矩的估计方法就称为矩估计法.记总体k阶中心矩为样本k阶中心矩为设总体X的分布函数中含有k个未知参数步骤一、我们把总体X的m阶原点矩E(Xm)记为am,m=1,2,,k一般地,am(m=1,2,,k)是总体分布中的参数1,2,,k的函数.故应该把am(m=1,2,,k)记之为:am(1,2,,k)(m=1,2,,k)方法步骤二、算出m阶样本原点矩:步骤三、令am(1,2,,k)=Am(m=1,2

4、,,k)得关于1,2,,k的方程组步骤四、解这个方程组,其解记为它们就可以做为1,2,,k的估计.这样求出的估计叫做矩估计.解:由矩法,从中解得的矩估计.即为例1设总体X的概率密度为是未知参数,其中X1,X2,…,Xn是取自X的样本,求参数的矩估计.解:由密度函数知例2设X1,X2,…Xn是取自总体X的一个样本其中>0,求的矩估计.具有均值为的指数分布故E(X-)=Var(X-)=即E(X)=Var(X)=解得令设总体的均值为,方差为2,于是由此列出方程组:例3求均值,方差2的矩估计∴均值,方差2的矩估计是:例如求正态总体N(,2)两个未知参数和2的矩

5、估计为总体均匀分布X∼U(a,b).求:两个参数a,b的矩估计解:又如但是由方程组求解出a,b的矩估计:例4:设某电子元件的寿命（以小时计）T服从双参数的指数分布，其概率密度为为未知参数，从这一批元件中随机地抽取n件进行寿命试验，得它们的失效时间依次为求解：先求E(T),Var(T)如下即，参数的矩估计为矩估计法优缺点优点:(1)不必知道总体的分布函数(2)直观简便缺点:(1)矩估计法有时会得到不合理的解(2)使用不同阶的矩，会得到不同的解(3)总体分布的原点矩不一定存在2.极大似然法是在总体类型已知条件下使用的一种参数估计方法.它首先是由德国数学家高斯在1821年提出的,GaussFis

6、her然而，这个方法常归功于英国统计学家费歇.费歇在1922年重新发现了这一方法，并首先研究了这种方法的一些性质.极大似然原理的直观想法一个随机试验如有若干个可能的结果A，B，C，…。若在一次试验中，结果A出现，则一般认为试验条件对A出现有利，也即A出现的概率很大。：如：有两位同学一起进行实弹射击，两人共同射击一个目标，事先不知道谁的技术好，让每人各打一发，有一人击中目标，那么认为击中的同学的技术比不击中的技术较好。通过一个例子来了解其思想例如，一个盒子中有黑色和白色的球共四个，其中一种颜色的是三个，另外一种颜色的是一个。试通过试验估计两种球的比例。解：今用有放回抽取的方法从布袋中抽取n个

7、球，其中黑球的个数记为,则服从二项分布今就n=3的情形讨论如下。怎样通过子样的观察值也即x的取值来估计参数p呢？换句话说，在什么情形下取p=1/4,而在另外的情况下取p=3/4更为合理呢？为此，我们就p=1/4或p=3/4为参数值的二项分布计算到的概率列入下表我们从对子样所下的定义知道，子样来自总体并很好的反映了总体的概率分布特征。因此，我们在对总体的分布函数的参数做估计时，应该从子样的观察值出发来考虑。在这个例子中，如