femch有限元法的力学基础

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1、第二章平面问题基本理论第二节平面应力问题与平面应变问题第三节平衡微分方程第四节几何方程刚体位移第五节物理方程第六节一点的应力状态确定第七节边界条件第八节圣维南原理第一节弹性力学概论第一节弹性力学概论弹性力学（TheoryofElasticity）:研究载荷作用下弹性体中内力和变形的一门学科。第一节弹性力学概论载荷：机械力，温度，边界约束……----原因弹性体：缷载后完全恢复到初始状态和尺寸----研究对象1.什么是弹性力学？内力和变形：应力，应变，位移……----研究目标一.弹性力学内容第一节弹性力学概论2.弹性力学与其它力学分支的对比理论力学材料力学结构力学弹性

2、力学研究对象刚体静力学运动学动力学杆、梁拉压剪切扭转弯曲桁架、刚架（杆系结构）应力形变位移弹性体应力形变位移第一节弹性力学概论2.弹性力学与其它力学分支的对比研究方法材料力学:借助于直观和实验现象作一些假定，如平面截面假设等，然后由静力学、几何关系、物理方程三方面进行分析。弹性力学:仅由静力平衡、几何方程、物理方程三方面分析，放弃了材力中的简化假定。近似解法：变分法、差分法、有限单元法等。一维数学问题，求解常微分方程。三维数学问题，求解偏微分方程。近似解解析法第一节弹性力学概论如：梁的弯曲问题材料力学当l>>h时，两者误差很小如：混凝土深梁弹性力学以微元体为研究对

3、象，建立方程求解，得到弹性体变形的一般规律。所得结果更符合实际。弹性力学↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓第一节弹性力学概论1.连续性假定整个物体的体积都被组成物体的介质充满，不留下任何空隙。该假定在研究物体的宏观力学特性时，与工程实际吻合较好；研究物体的微观力学性质时不适用。作用：所有物理量都可以表示成空间坐标的连续函数。如：可以应用数学分析工具二.弹性力学基本假设第一节弹性力学概论2.完全弹性假定物体在外力拆除之后，能完全恢复原形，没有任何剩余变形。脆性材料——一直到破坏前，都可近似为线弹性的；塑性材料——比例阶段，可视为线弹性的。作用：E，u等材料常数为常量，不随应力

4、、应变的变化而变化——物理方程线性化完全弹性线弹性——弹性力学非线性——非线性弹性力学第一节弹性力学概论3.均匀性假定假定整个物体是由同一种材料组成的，各部分材料性质相同。作用：弹性常数（E、μ）——不随位置坐标而变化；取微元体分析的结果可应用于整个物体。4.各向同性假定假定物体内一点的弹性性质在所有各个方向都相同。作用：弹性常数（E、μ）——不随坐标方向而变化；符合上述4个假定的物体，称为理想弹性体。第一节弹性力学概论5.小变形假定假定位移和形变是微小的，即物体受力后物体内各点位移远远小于物体的原来的尺寸，且应变和转角远小于1。作用：建立方程时，可略去高阶无穷小

5、量；可用变形前的尺寸代替变形后的尺寸。使求解的方程线性化。两层含义：位移是微小的：各点位移<<物体尺寸应变是微小的：弹性力学研究范围-----理想弹性体的小变形问题五大假设第一节弹性力学概论1.外力1)体力:分布在物体体积内部。（重力、惯性力）xyzΔVΔFffzfyfxf=VFDDlimV®D0体力分量符号规定：沿坐标轴正向为正，沿坐标轴负向为负。体力平均集度-(矢量)P点体力集度体力分量量纲：P三.弹性力学基本概念第一节弹性力学概论2)面力:分布在物体表面上的力。（流体压力、接触力）SFDDlimS®D0面力分量符号规定：沿坐标轴正向为正，沿坐标轴负向为负。面

6、力平均集度-(矢量)P点面力集度量纲：xyzΔFΔSfzfyfx=ffP面力分量第一节弹性力学概论xyzΔFp_=AFDDlinA®D0ΔAστ内力的集度:物体内某一点的应力xyzysyztyxtxsxztxytzσzxtzytzszxtzytysyxtyzt物体内部相邻部分之间的相互作用力。内力平均集度2.内力正应力σ：应力沿其作用截面的法向分量。切（剪）应力τ：应力沿其作用截面的切向分量。xsxztxytPACBpP负面第一节弹性力学概论ysyztyxtzσzxtzytzszxtzytysyxtyzt一点应力状态及其表示正面xyz一点的应力状态：通过一点的各个

7、面上应力状况的集合面:面:面:面正面：外法线沿坐标轴正向负面：外法线沿坐标轴负向应力分量正面上的应力：负面上的应力：沿坐标轴正向为正，负向为负沿坐标轴负向为正，正向为负xsxztxytxsxztxyt应力符号的意义：第1个下标x表示τ所在面的法线方向；第2个下标y表示τ的方向.PACB正负号规定：ab第一节弹性力学概论xyz用矩阵表示：ysyztyxtzσzxtzytzszxtzytysyxtyztxsxztxytxsxztxyt假设弹性体处于静力平衡状态,以a,b为轴，列力矩平衡方程：同理：yztzytzytyzt切应力互等定理：行表示面列表示轴向第一节弹性力学

8、概论一点的