函数展开成幂级数(II)

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1、1一、泰勒级数上节例题存在幂级数在其收敛域内以f(x)为和函数问题:1.如果能展开,是什么?2.展开式是否唯一?3.在什么条件下才能展开成幂级数?2n阶泰勒公式若函数在的某邻域内具有阶导数,则在该其中(在x与之间)称为拉格朗日余项.此式称为的阶泰勒公式,邻域内有:3如果在的某邻域内存在任意阶导数,则称下为的泰勒级数.列级数当时,泰勒级数变为.称为麦克劳林级数.4待解决的问题:1)对此级数,它的收敛域是什么？2)在收敛域上,和函数是否为麦克劳林级数5定理1各阶导数,设函数在点的某一邻域内具有则条件是的泰勒公式中的余项满足

2、证明:令在该邻域内能展开成泰勒级数的充要6定理2若能展成x的幂级数,则这种展开式是唯一的,且与它的麦克劳林级数相同.证:设则在收敛区间内显然结论成立.7二.函数展开成幂级数1.直接展开法由上述泰勒级数理论可知,第一步求函数及其各阶导数在x=0处的值;第二步写出麦克劳林级数,并求出其收敛半径R;第三步判别在收敛区间是否内为0.函数展开成幂级数的步骤如下:8例1.将函数展开成x的幂级数.解:级数的收敛半径为对任何有限数x,其余项有故(在0与x之间)9例2.将函数展开成x的幂级数.解:级数的收敛半径为对任何有限数x,其余

3、项有10类似可推出11例3.将函数展开成x的幂级数,其中m为任意常数.解:容易求出于是由于因此,对任意常数级数在开区间内收敛.m,12为了避免研究余项,设此级数的和函数为推导13由此得称为二项展开式.说明：1.在处的收敛性与有关.2.当m为正整数时,级数为x的m次多项式,上式就是代数学中的二项式定理.14对应的二项展开式分别为152.间接展开法利用一些已知的函数展开式及幂级数的运算性质,将所给函数展开成幂级数.例4.将函数展开成x的幂级数.解:把x换成,得16例5.将函数展开成x的幂级数.解:从0到x积分上式右端的幂级

4、数在收敛,而在有定义,且连续,所以展开式对也是成立的,于是收敛区间为利用此题可得17181920例8.将展成解:的幂级数.21例9.将展成的幂级数.解:2223内容小结1.函数的幂级数展开法(1)直接展开法利用泰勒公式;(2)间接展开法利用幂级数的性质及已知展开式的函数.2.常用函数的幂级数展开式24当m=–1时25作业11-4P2232(2),(3),(5),(6);3(2);4;626返回27