《解析函数》PPT课件(I)

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1、前情提要四则运算共轭,模三角形式,指数形式乘积(商,乘幂)的模和辐角,方根邻域区域简单(闭)曲线单连通域,多连通域复变函数(一元?二元?)第一章.掌握概念基本运算复平面和二维实平面上的方程(或函数)转换.z与(x,y):f(z)----F(x,y)xoy平面映射到uov平面.(x,y)<==>z--[w=f(z)]--w<==>uov作业讲解p.32.12(3)§1解析函数的概念一、复变函数的导数与微分1、导数的定义2、例题：例1；例23、连续、导数、微分二、解析函数的概念1、定义2、例题：例3；例43、定理返回存在，则称在z0处可导。记为在D

2、上有定义，。若设返回1、导数的定义：╬注:f为复值函数,F为实值函数解：返回[例1]设╬[例2]证明在任意点处不可导。所以导数不存在。Proof:返回╬3.连续、可导、可微在点ｚ0的微分与一元函数一样，因此可导与可微是等价的。可导必定连续，连续不一定可导。可导与连续（1）可微与可导（2）（3）求导法则与一元函数一样。返回╬定义1、定义1：若在的邻域内处处可导，则称及处解析。在解析函数（全纯函数、正则函数）。2、定义2：若在D内处处解析，则称是D内的在处解析可导可导解析在解析可导内3、定义3：若在处不解析，则称为的奇点。无意义的点，是奇点。注：使

3、返回╬[例3]讨论下列函数的解析性，可导性。定理*：解析函数的和差积商及有限次复合在定义域内是解析的。2、在复平面上处处可导，处处解析。解：1、解：在复平面上处处不可导,处处不解析3、解：外处处可导，处处解析。，除4、解：外处处可导，处处解析。，除返回╬所以除外处处不可导，故处处不解析。解（1）所以在处可导；（2）设[例4]证明在处可导，但不解析。返回╬§2解析函数的充要条件一、预备定理1、定理12、例题：例1二、解析函数的充要条件1、定理12、定理23、例题：例2，例3，例4返回1、定理1(必要条件)设在区域D内有定义，，or，且满足柯西-黎

4、曼（Cauchy-Riemann）条件：，。且在点z处可导，则返回下一页╬Proof:在ｚ处可导，则:下一页上一页╬注:可导,则沿任意方向的导数相同：沿y轴方向沿x轴方向所以：且：返回上一页╬2、定理1的逆不一定成立，即f(z)在z处满足C-R条件但不一定可导。[例1]验证在处满足C-R条件，但不可导。Proof:令所以同理即满足C-R条件；所以不存在。,000lim)0,0()0,(lim00)0,0(=D-=D-D=¶¶®D®Dxxuxuxuxx返回╬1、定理2在区域Ｄ内有定义，则在Ｄ内一点ｚ处可导的充要条件是在处可微，且满足C-R条件。设

5、：返回╬在Ｄ内解析的充要条件是在Ｄ内可微，且满足C-R条件。[注:D内解析等同于D内可导]注:复变函数在某点(区域内)的可微性等同于对应的两个二元实函数在……的可微性[外加CR][例2]用C-R条件判断函数的解析性。由C-R条件，解：所以处处不解析。返回╬注:上节已有用定义判断的相同例子.[例3]判断下列函数的可导性，解析性，并求导数。解：（1）由：处可导，故处处不解析。所以只在下一页╬（2）解：方法一、除（0,0）外处处可导，所以除（0,0）外处处解析。上一页下一页╬方法二除（0,0）外处处可导，所以除（0,0）外处解析。解：由C-R条件有返

6、回上一页╬[例4]若　在D内处处为0，则　　在D内为一个常数。所以u,v关于x为常数所以u,v关于y为常数Proof:在D内为一个常数。故作业╬[作业]P662(1,3)3(1,3)4(1)810(1)返回