《解析函数》PPT课件

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1、第二章解析函数§2.2解析函数和调和函数的关系§2.1解析函数的概念§2.3初等函数1§2.1解析函数的概念一、导数与微分二、解析函数三、柯西-黎曼方程2一、导数与微分1.复变函数的导数则称在处可导，设函数在点的某邻域内有定义，定义是的邻域内的任意一点，如果存在有限的极限值A，且称A为在处的导数，记作如果函数在区域D内的每一点都可导，在D内可导，此时即得的导(函)数则称P30定义2.13一、导数与微分2.复变函数的微分则称在处可微，设函数在点的某邻域内有定义，定义是的邻域内的任意一点，若在区域D内处处可微，则称在D内可

2、微。如果存在A，使得记作为微分，特别地，有(考虑函数即可)导数反映的是“变化率”；而微分更能体现“逼近”的思想。P30补4一、导数与微分3.可导与可微以及连续之间的关系(1)可导可微如果可导可微如果可微可导由此可得即5一、导数与微分3.可导与可微以及连续之间的关系(1)可导可微(2)可导连续如果可导可微连续由此可见，上述结论与一元实函数是一样的。对二元实函数：偏导数存在可微连续偏导数连续6解(1)由(n为正整数)；同理可得得(C为复常数)。求下列函数的导数：例(1)(2)7解(2)由得求下列函数的导数：例(1)(2)8

3、一、导数与微分4.求导法则(1)四则运算法则P329一、导数与微分4.求导法则(1)四则运算法则(2)复合函数的求导法则(3)反函数的求导法则其中，与是两个互为反函数的单值函数，且10二、解析函数则称在点解析；(1)如果函数在点以及点的邻域内处处可导，定义(2)如果函数在区域D内的每一点解析，则称或者称是D内的解析函数。在区域D内解析，奇点则称为的奇点。如果函数在点不解析，(2)区域可导区域解析。关系(1)点可导点解析；P31定义2.211二、解析函数性质(1)在区域D内解析的两个函数与的和、差、积、商(除去分母为零的

4、点)在D内解析。(2)如果函数在z平面上的区域D内解析，则复合函数在D内解析。函数在平面上的区域G内解析，且对D内的每一点z，函数的值都属于G，P3212由函数的解析性以及又方程的根是设解当时，解析，因此在全平面除去点的区域内，解析。求导法则可知：求函数的解析区域及在该区域上的导数。例13极限不存在(见§1.5)讨论函数的解析性。例当时，即当时，不存在。因此，仅在点可导，处处不解析。解由有14讨论函数的解析性。例解当时，当时，因此，处处不可导，处处不解析。对函数如何判别其解析性？问题15三、柯西-黎曼方程1.点可导的充

5、要条件且满足柯西-黎曼(Cauchy-Riemann)方程：和在点处可微，(简称方程)函数在点处可导定理的充要条件是：实二元函数可微的含义：附P33定理2.116三、柯西-黎曼方程1.点可导的充要条件证明必要性“”若在处可导，且和在点处可微，故记则必可微，即由有17三、柯西-黎曼方程1.点可导的充要条件证明充分性“”即在处可微(可导)，若和在点处可微，则得又由和满足方程：且18求导公式三、柯西-黎曼方程1.点可导的充要条件若在处可导，则P3419三、柯西-黎曼方程2.区域解析的充要条件和在区域D内可微，且函数在区域D内

6、解析的定理充要条件是：满足C-R方程。推论在区域D内存在且连续，并满足C-R方程，在区域D内解析。和的四个偏导数若函数则函数P34定理2.2P34推论20可知不满足C-R方程，解由有所以在复平面内处处不可导，处处不解析。讨论函数的可导性与解析性。例21有由C-R方程，所以仅在点可导，处处不解析。解由讨论函数的可导性与解析性。例22讨论函数的可导性与解析性。例由C-R方程，解由有处处不解析。所以仅在直线上可导，xy23讨论函数的可导性与解析性。例解由有四个偏导数连续，且满足C-R方程，故在全平面上处处可导，处处解析，且注

7、函数记为本例结果表明：P35例2.4部分24解由有由C-R方程可得求解得设函数求常数例在复平面内处处解析。的值，使25即得(常数)。(1)由解析，证由解析，为常数，设函数内为常数。在某区域例之一，证明：在区域内解析，且满足下列条件内解析；在(1)(2)内为常数。在P35例2.526证(常数)；(2)由解析，由在D内为常数，(常数)，两边分别对x,y求偏导得：①若②若方程组(A)只有零解，即得(常数)。为常数，(A)27§2.2解析函数与调和函数的关系一、调和函数二、共轭调和函数三、构造解析函数28一、调和函数则称为区域

8、D内的调和函数。若二元实函数在区域D内有连续二阶偏导数，定义且满足拉普拉斯(Laplace)方程：注泊松(Poission)方程P36定义2.329同理证明由解析，有P36定理2.3一、调和函数若函数和在区域内解析，则定理在区域内都是调和函数。30二、共轭调和函数设函数及均为区域D内的调和函数，定义函数在区域D内解析的充要定理条件