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1、第23卷第5期乐山师范学院学报Vol.23,No.52008年5月JournalofLeshanTeachersCollegeMay.2008高等几何的高观点及其作用杨泉康(南京晓庄学院数学系,江苏南京211171)摘要:对高等几何的高观点及其对中学几何的指导作用作了讨论,具体阐述了无穷远元素的应用,介绍了变换群观点,给出了推广新的欧氏几何命题的方法。以便更深入地理解几何空间的基本特征、研究方法、内在联系,从而提高处理中学几何问题的能力。关键词:高等几何观点;无穷远元素;变换群;初等几何;指导作用中图
2、分类号:O18文献标识码:A文章编号:1009-8666(2008)05-0009-03高等几何是高等师范院校数学专业的重要基础课程而这些“思维的自由想象和创造物”正是数学发展的关键之一,通过学习,可使读者开拓几何空间视野,了解变换群所在。在这样的规定下,两点决定一条直线。两直线必相交观点,揭示欧氏几何与仿射几何、射影几何之间内在的联于一点,点与直线的地位完全平等,相交与平行得到了统系与区别,从而从较高层面上深入理解中学几何教材,用一,使射影几何有了有别于欧氏几何的特有的对偶原理:较高的观点处理中学几
3、何的一些问题,帮助指导中学几何原命题成立,则其对偶命题必然成立。起到了事半功倍的教学与研究。本文从以下几个方面论述高等几何的高观点作用。由于相交与平行的统一,一个古老、美丽实用的德萨及其作用。格(Desargues)定理:两三点形对应顶点连线共点(透视中心),则对应边交点共线(透视轴)。按透视中心分有穷远点1空间观念的转变和提高,有助于理解和无穷远点,透视轴分有穷远直线和无穷远直线,可得6和处理中学几何的一些问题个欧氏几何命题,充分体现了射影几何高度的概括性和简几何的发展史就是空间观念的发展史。无穷远
4、点和无洁美。而其对偶命题就是德萨格定理的逆定理:两三点形穷远直线这些理想化元素的引入,使得欧氏平面拓广为仿对应边交点共线,则对应顶点连线共点。射平面及射影平面,改变了欧氏几何只研究现实的空间形下面通过几例说明在拓广的几何空间里无穷远元素式和关系的局限性,几何观点得到了提高。的应用,从一个方面体现高观点对中学几何的指导作用。无穷远点的引入是鉴于弥补中心射影的非一一对应例1求证:三角形的三条中线共点。缺陷的“补美”思想,使影消点与影消线分别对应无穷远点证明:如图1,D,E,F分别为△ABC三边中点,∵EF
5、‖与无穷远直线。由于每条普通直线只引入一个无穷远点,BC,FD‖AB,DE‖AC,它就是直线两端的连接点,因此直线也像圆一样是一种封∴EF×BC=P∞,FD×AB=闭图形,这个无穷远点也就是互相平行的直线的交点,而Q∞,DE×AC=R∞,∵P∞、平面上所有这些无穷远点组成了所谓的无穷远直线,欧氏Q∞、R∞共线于1∞由德平面加上这条无穷远直线成为仿射平面,再把这条无穷远萨格定理的逆定理得对直线看作与普通直线一样,地位平等,仿射平面就成为射应顶点连线AD、BE、CF影平面。这些概念看起来与现实世界的距离如
6、此遥远,然共点。收稿日期:2007-10-12作者简介:杨泉康(1965-),男,南京晓庄学院数学系教师。9例2求证:梯形两腰中点,对角线交点,两腰延长线一门几何学就是研究图形在某一变换群下不变性质和不交点四点共线。变量的科学,以此对几何学进行分类和比较。利用变换群证明:如图2,连接GH分别交AD、BC于E、F∵AD‖观点可以帮助我们重新审视中学几何,认清欧氏几何与仿BC,∴AD×BC=P∞,由完全四点形ABCD的调和性得(AD,射几何、射影几何之间的不同几何本质和相互联系。中学EP∞)=-1,(BC
7、,FP∞)=-1∴E、F分别为AD、BC中点,命题几何主要是欧氏几何,判定一个图形或定理属于哪一种几得证。何学研究的对象,主要根据图形或定理所涉及的不变性质与中学平面解析和不变量来判定,如距离、线段、或角度相等、垂直等就属几何证法作比较,可见于欧氏几何研究的对象;涉及直线平行、平行线段之比、线高等几何方法的优越段中点、三角形重心、两封闭图形面积之比、单比等就属于性。仿射几何研究钓对象:而仅涉及点线结合关系(如点共线,例3求证双曲线共点等)、交比等有关的,就属于射影几何研究的对象。线的下列性质:中学中大
8、量几何问题仅涉及图形的仿射性质和射影性质,(1)双曲线上任一可以考虑通过变换方法,利用仿射不变性和射影不变性解点的切线与两条渐近决问题。为化繁为简,化难为易,在具体方法上往往采用将线所围成的三角形的一般图形变换为特殊图形进行处理,再利用不变性质解决面积为常量。原问题。(2)双曲线的任一例4求证任意三角形三条中线所分成的六个三角形条切线交渐近线于两的面积相等。点,则切点是此两点所证明:将任意三角形经某一仿射变换变为等边三角连线段的中点。形,则三条中线变换为
