巧妙确定三角函数求值中角的范围

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1、高中数学教与学2009年妙确定三角函数求值中角的范围徐玲(江苏省睢宁县城北中学，221200)三角函数是新教材中的重要内容，三角·．．2一卢=一．函数求值是三角函数中比较常见的一类题评注根据，卢∈(O，叮r)，可知2一卢∈型．要解决这类题，不仅要求要掌握一些公(一，2,rr)，而符合条件的角有三个，是否都符式，还要会准确确定角的范围，避免增解．一、根据三角函数值确定合题意呢?需要根据tan卢=—1和tan=专一1例1已知tan(一卢)=1，tan=两个三角函数值，进一步缩小角的范围，才能确给出答案．1一÷，且，卢E(0，耵)．求2ct一的值．二、根据三角函数式确定例2已知

2、0∈0，，fr)，sin0+COS0：解‘．‘tan=tan[(—)+]1，求c。s20．一!i二旦2±璺翌1一tan(一卢)tanJB解·．·sjn0。c。s0：111，一Z一·+×3’·(sin0¨=1．．．·1n2O=1．tan(2or一)=tan[+((Y一卢)．．，sin20：一争一!璺望±!(二色2—··0

3、·0<<詈．0<2<詈，。三角函数式，借助单位同中的三角函数线确定0I的范围．··一．l

4、两式平方相加，得．25+24sin(A+B)=37，即sin(a+p)争，)·．．in(A+B)：由①知，sinOC—COS>0，又A++C=叮r．。·．．sin(A+B)=sin(1T—C)．．s>sin(詈一卢)．1：sinC=因口与p均为锐；角，所以>,IT一／3,即2。由4sinB=1—3cosA>0，得詈<+<竹，．⋯A<÷<÷．．‘一s(a+／3)一，、=一T又0

5、否符合条o件呢?根据sin—COSJB>0，巧妙将+卢缩评注根据4sinB+3cosA=1及sinB小范围．>0条件将COSA缩小范围，从而缩小A角范四、根据三角形的内在约束条件确定围，利用A+B+C=叮r，最后确定C角范围．五、根据题目的隐含条件确定例4在ZXABCrO，若sinA=，c。s例6已知tan，tan卢是方程+34Yx=，求c。sc的值．+4=0的两个根，且a，卢∈．(一号，卫2)，求a解~]COS=吾，o<<丌，得+的值．解。．。lan，tan是方程z+3√+4sinB=．=0的两个根，·．又sinA=了4．tanO／+tan卢=一3<0，，知sin，4<

6、sin曰．tan。tan卢=4>0．在IXABC中，由正弦定理得0

7、中的作辅助线的困难，而且免去．D，E∥平面ABD．了寻找满足定理、公理所依据的条件这个繁C杂过程，使计算、证明更简化；尤其在容易确立空问直角坐标系时，利用向量的坐标进行运算，对于证明空间中线与面平行、线与线垂C直、线与面垂直更加方便；对于计算点到平面的距离、异面直线间的距离的计算以及异面1直线问的夹角、直线与平面的夹角、二面角的说明：本题也可以用向量坐标形式进行计算等，更又显示出其独到之处．这部分内容运算和证明．也是高考中的一个热点问题，系统掌握这种(2)利用平面向量的基本定理，进行证证明和计算方法，对于学好立体几何，解决空明