《直线方程式》PPT课件

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1、2~4直線方程式一、空間直線方程式：1.直線的方向向量：坐標空間中，設A(x1,y1,z1)、B(x2,y2,z2)為直線L上的相異兩點，稱為直線L的一個方向向量。則直線L上的任意一點P(x,y,z)皆可表為2.直線的參數式：設A(x0,y0,z0)為直線L的定點，A(x0,y0,z0)LP(x,y,z)說明：若在直線L上任取一點P(x,y,z)，反之，若點P(x,y,z)滿足上式，為直線L的參數式。3.範例：已知直線L通過點A(2,1,3)，B(4,2,1)，求L的參數式。解：L過點A(2,1,3)，Ans：求L的參數式。馬上練習：已知直線L通過點A(3,4,1)，4.直線的比例式

2、：例如：通過點P(1,4,0)，5.範例：已知直線L通過點P(2,1,3)，Q(3,2,1)，解：L過點A(2,1,3)，注意：馬上練習：已知直線L通過點P(4,2,3)，Q(1,0,1)，解：L過點P(4,2,3)，Ans：求L的對稱比例式。求L的對稱比例式。OxyzB(0,1,0)A(1,0,0)LOxyzB(0,3,0)LE2LE16.直線的二面式：若E1：a1x+b1y+c1z+d1=0，E2：a2x+b2y+c2z+d2=0是兩個不平行的平面，且相交於直線L，則聯立方程式所代表的圖形即為直線L，此聯立方程式稱為直線L的二面式。E1E2LP7.範例：求兩平面E1：

3、3x+2y+z=4和E2：x+2y+3z=4解：注意：的交線L之參數式。馬上練習：求兩平面E1：x+y2z=4和E2：3x+2y+z=4的交線L之參數式。Ans：解：8.坐標軸的方程式：(1)x軸為xy平面(z=0)，(2)y軸為xy平面(z=0)，(3)z軸為yz平面(x=0)，x軸的兩面式y軸的兩面式z軸的兩面式Oxyz與xz平面(y=0)的交線與yz平面(x=0)的交線與xz平面(y=0)的交線OxyzB(0,1,0)A(1,0,0)L9.範例：解：OxyzB(0,3,0)L馬上練習：Ans：解：注意：直線的對稱比例式也是二面式，則L無法表示成對稱比例式，但可表示成二面

4、式E1E2E=E1+kE2LP10.平面族：相交於同一直線的所有平面。若E1：a1x+b1y+c1z+d1=0，E2：a2x+b2y+c2z+d2=0是兩個不平行的平面，且相交於直線L，則直線L上的任一點P(x,y,z)皆滿足聯立方程式因此，直線L上的任一點P(x,y,z)亦滿足(a1x+b1y+c1z+d1)+k(a2x+b2y+c2z+d2)=0，即直線L上的任一點P(x,y,z)滿足方程式：E1+kE2=0。所以，過E1與E2交線的平面E(除E2之外)即相交於同一直線的所有平面，彼此為線性組合的關係。皆可表為E1+kE2=0之形式。11.範例：求過兩平面E1：2xy=2及E2：y

5、+2z=4的交線，且通點P(2,1,1)的平面之方程式。解：設所求E：(2xy2)+k(y+2z4)=0，因為E通點P(2,1,1)整理得所求為5x2y+z7=0。馬上練習：求過兩平面E1：2x+y4=0及E2：y+2z=0的交線，且垂直平面E3：3x+2y+3z6=0的平面之方程式。Ans：xz2=0。解：設所求E：(2x+y4)+k(y+2z)=0，(2x+y4)(y+2z)=0整理得所求為xz2=0。12.範例：求包含x軸且通過P(1,1,2)的平面之方程式。解：設所求平面E：y+kz=0。又E過P(1,1,2)故所求為2y+z=0。注意：在x軸上取

6、點Q(1,0,0)，馬上練習：求包含z軸且通過P(3,4,5)的平面之方程式。Ans：4x3y=0。解：故所求為4x3y=0。設所求平面E：x+ky=0。又E過P(3,4,5)P(3,2,6)LQ(2t+1,2t+2,3t1)二、空間中，點與直線的關係：1.範例：解：從P(3,2,6)作L的垂線交於點Q(2t+1,2t+2,3t1)，解得t=1，注意：(2)在L上取點A(1,0,2)與點B(1,2,1)但是無法求得垂足Q(投影點)的坐標。B(1,2,1)A(1,0,2)P(3,2,6)LQP(1,1,2)Q(2t+5,3t+6,2t+3)L馬上練

7、習：(1)P點到直線L的垂足。(2)P點到直線L的距離。Ans：(1)(7,3,1)(2)7。解：從P(1,1,2)作L的垂線交於點Q(2t+5,3t+6,2t+3)，解得t=1，PL2.範例：解：取L上一點Q(0,1,2)注意：設所求E：3x+2y+z=k，故所求為3x+2y+z=4。設包含L的平面為(5x+z2)+k(xy+1)=0，將P(1,1,5)代入得k=2，又E通過Q(