有限元分析的数学求解原理

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1、第三章有限元分析的数学求解原理前一章针对任意形状变形体，基于物体内的微小体元dxdydz定义了描述弹性变形体的所有基本力学信息（ui，εij，σij）、基本方程（平衡、几何、物理）及边界条件。接下来的任务就是对这些方程在具体的条件下进行求解，也就是说在已知边界条件下，由基本方程求出相应的位移场、应力场和应变场。一般来说，求解方程的途径有两大类：（1）直接针对原始方程进行求解，方法有：解析法(analyticalmethod)、半逆解法(semi-inversemethod)、有限差分法(finitedifferencemethod)等；（2）间接

2、针对原始方程进行求解，方法有：加权残值法、虚功原理、最小势能原理、变分方法等主要内容3.1简单问题的解析求解3.2虚功原理3.3应用举例3.4基本步骤3.1简单问题的解析求解1D拉杆问题有一个左端固定的拉杆，其右端承受一外力P。该拉杆的长度为l，横街面积为A，弹性模量为E，如图所示：(1)基本变量由于该问题视为沿x方向的一维问题，因此只有沿x方向的变量，而其它变量为零。即：位移：u(x)应变：εx(x)应力：σx(x)3.1简单问题的解析求解(2)基本方程对原三维问题的所有基本方程进行简化，只保留沿x方向的方程，得到该问题的三大类基本方程和边界条

3、件平衡方程（无体力）几何方程物理方程3.1简单问题的解析求解3.1简单问题的解析求解边界条件（BC）上述方程中，力的边界条件为一种近似，因为在x=l的端面，σx(x)不应是均匀分布的。由圣维南原理（Saint-Venantprinciple），在远离x=l的截面，力的边界条件才较好的满足。(3)求解对上述的方程直接求解，可以得到以下的结果：3.1简单问题的解析求解其中c及c1为待定系数，由边界条件可以求出上式中的常数为c1=0，c=P/A，因此有最后的结果：(4)讨论1上述问题若用经验方法求解（如材料力学的方法），则需要先作平面假设，即假设σx为

4、均匀分布，这样可以得到再由Hooke定律算出：再计算右端的伸长量为：3.1简单问题的解析求解通过比较可以看出，经验方法求解的结果和弹性力学的解析结果完全一致。比较以上解析方法和经验可以看出：解析方法的求解过程严谨，可以得到物体内各点力学变量的表达，是场变量。经验方法的求解过程比较简单，但需要事先进行假定，往往只能得到一些特定位置的力学变量表达，而且只能应用于一些简单情形。3.1简单问题的解析求解(5)讨论2根据计算能量的方法，得到：应变能外力功势能3.1简单问题的解析求解平面梁的弯曲问题假设有一个受分布载荷作用的简支梁如图所示，由于简支梁的厚度较

5、小，外载沿厚度方向无变化，那么该问题可以认为是一个oxy平面内的问题3.1简单问题的解析求解1.基本方程有两种方法来建立基本方程。方法一：采用一般建模及分析方法，即从对象取出dxdy微元体进行分析，建立最一般的基于（ui，εij，σij）描述的方程，类似于2D问题的基本变量及方程，这样，所用的变量较多，方程复杂。方法二：采用特征建模（characterizedmodeling）的简化方法来推导的三大方程，其基本思想是采用工程宏观特征量来进行问题的描述。3.1简单问题的解析求解应此简支梁问题的特征为：①梁为细长梁(longbeam)，因此可只用x坐

6、标来刻画；②主要形变为垂直于x的挠度，可只用挠度（deflection）来描述位移场。3.1简单问题的解析求解补充概念：挠度（deflection），弯曲变形时横截面形心沿与轴线垂直方向的线位移称之为挠度。简言之，就是指梁、桁架等受弯构件在载荷作用下的最大变形，通常指竖向，就是构件的竖向变形针对这两个特征，可以做出以下假定：直法线假定小变形与平面假定该问题的三类基本变量：位移：（中层性挠度）应力：σ（采用σx，其他应力分量很小，不考虑），该变量对应于梁截面上的弯矩M应变：ε（采用εx，满足直线假设）3.1简单问题的解析求解下面取具有全高度梁的dx

7、“微段”来推导三大类方程3.1简单问题的解析求解平衡方程首先是x方向的合力平衡然后是y方向的合力平衡y为距梁中性层的坐标最后是弯矩平衡几何方程由变形后的几何关系，可得到其中，y为距中性层的坐标，k为梁挠度的曲率，即：3.1简单问题的解析求解物理方程由Hooke定律有：对上述方程整理，就得到了平面简支梁弯曲问题的基本方程：3.1简单问题的解析求解式中，为梁截面的惯性矩（momentofinertia）。可以看出：将原始基本变量定位中性层的挠度v(x),则可以求出其他参数边界条件该简支梁的边界为梁的两端，作用在梁上的q(x)已在平衡方程中考虑，因此不

8、作为力的边界条件。两端位移：两端力（弯矩）：将弯矩以挠度的二阶导数来表示，即：3.1简单问题的解析求解2.求解若用基于dxdy微体所建立