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1、第7章函数的导数和积分对于可导的函数的导数也是一个函数，称作的导函数。寻找已知的函数在某点的导数或其导函数的过程称为求导，反之已知导函数，也可以倒过来求原来的函数。求导和积分是一对互逆的操作，它们都是微积分学中最为基础的概念。微积分基本定理说明了求原函数与积分是等价的。在微积分中，积分是微分的逆运算，即知道了函数的导函数，反求原函数。在应用上，积分作用不仅如此，它被大量应用于求和（例如求曲边三角形的面积），这巧妙的求解方法是积分特殊的性质决定的。7.1函数的导数7.1.1函数导数的解析解使用符号求导函数的调用格式是：diff(fun,x,n)其中，fun是
2、函数符号表达式；x是符号自变量；n是求导的阶数（n为1时可以省略）。例7-1计算函数的一阶和二阶导数。%求函数导数解析解symsx%定义表达式中的符号变量f=sqrt(cos(x))-x*sin(x);%定义函数表达式disp('函数的1阶导数：'),f1=diff(f)disp('函数的2阶导数：'),f2=diff(f,2)M文件运行结果：函数的1阶导数：f1=-1/2/cos(x)^(1/2)*sin(x)-sin(x)-x*cos(x)函数的2阶导数：f2=-1/4/cos(x)^(3/2)*sin(x)^2-1/2*cos(x)^(1/2)-2*
3、cos(x)+x*sin(x)7.1.2二维函数和参数方程的偏导数1、二维函数的偏导数使用符号求二维函数fun(x,y)偏导数的函数调用格式是：diff(diff(fun,x),y)diff(diff(fun,y),x)其中，fun是函数符号表达式；x和y是符号自变量例7-2计算二维函数的2阶偏导数：%求二维函数2阶偏导数解析解symsxy%定义表达式中的符号变量f=x^2*y/(x+y)^3;%定义二维函数表达式disp('对变量x的2阶偏导数：')d2x=diff(f,x,2)disp('对变量y的2阶偏导数：')d2y=diff(f,y,2)disp
4、('函数的2阶偏导数：')dxy=diff(diff(f,x),y)disp('函数的2阶偏导数的简化符号表达式：')sdxy=simplify(dxy)M文件运行结果：对变量x的2阶偏导数：d2x=2*y/(x+y)^3-12*x*y/(x+y)^4+12*x^2*y/(x+y)^5对变量y的2阶偏导数：d2y=-6*x^2/(x+y)^4+12*x^2*y/(x+y)^5函数的2阶偏导数：dxy=2*x/(x+y)^3-6*x*y/(x+y)^4-3*x^2/(x+y)^4+12*x^2*y/(x+y)^5函数的2阶偏导数的简化符号表达式：sdxy=-
5、x*(x^2-7*x*y+4*y^2)/(x+y)^52、参数方程的偏导数设参数方程为和，计算参数方程k阶导数的函数调用格式是：diff(f,t,k)/diff(g,t,k)例7-3计算参数方程导数解析解，并计算当时的数值解。%求参数方程导数的解析解symst%定义参数方程中的符号变量x=log(cos(t));%定义参数方程1y=cos(t)-t*sin(t);%定义参数方程2dydx1=diff(y,t)/diff(x,t);disp('参数方程的1阶导数的简化符号表达式：')sdydx1=simplify(dydx1)dydx2=diff(y,t,2
6、)/diff(x,t,2);disp('参数方程的2阶导数的简化符号表达式：')sdydx2=simplify(dydx2)%计算t=pi/3时的二阶导数值(有效数字6位)s2=vpa(subs(dydx2,t,pi/3),6);disp('t=pi/3时的二阶导数值：'),s2M文件运行后得到的计算结果：参数方程的1阶导数的简化符号表达式：sdydx1=(2*sin(t)+t*cos(t))*cos(t)/sin(t)参数方程的2阶导数的简化符号表达式：sdydx2=-(-3*cos(t)+t*sin(t))*cos(t)^2t=pi/3时的二阶导数值：
7、s2=.148275因此，参数方程一阶和二阶导数的解析解是：7.1.3n维函数的偏导数1、n维隐函数的偏导数设n维隐函数为，由于变量之间偏导数的关系是则计算变量对变量的偏导数的函数调用格式是：-diff(f,xj)/diff(f,xi)例7-4计算二维隐函数偏导数的解析解。%求二维隐函数偏导数的解析解symsxy%定义函数表达式中的符号变量f=(x^2-2*x)*exp(-x^2-y^2-x*y);%定义二维隐函数表达式dydx=-diff(f,x)/diff(f,y);%计算二维隐函数的偏导数dy/dxdisp('二维隐函数偏导数的简化符号表达式')sd
8、ydx=simplify(dydx)M文件运行后得到的计算结果：二
