Reed-Solomon码的多重循环编码算法的分析

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1、第一章绪论1．1研究的背景和意义通信是指把一条信息有效地从甲地传送到乙地。通常信息源(简称发方)是指发信方，收信者(简称收方)指接收信息的一方。一个完整的通信过程可以用以下模型(图1．1)来简单表示。图1．1信道指的传送介质，比如空气或电线等。一个完整的通信主要以下步骤：对信息的调制，比如将信息源的信息调制成电信号，发送，接受和解调等部分。解调是指将接收到的电信号还原成信息源发送的信息，如声音，文字和图像，以及单纯的数字等。将信息源的信息转化成数字信息传送给收信者称为数字通信。在工程应用上主要是对二元

2、数字信息研究。数字信息在传送过程很容易受到各种各样的干扰，造成收信者接收到的信息可能不是原来信息源发送的信息。为了使信息源发送的数字信息能正确的传送到收方，工程技术人员采取了各种技术设备上的改进和更新来确保信息在传送时受到的干扰降到最低。更为有效的抗干扰的办法，就是在进行信息传送前对要传信息选择一种好的抗干扰编码方法进行编译。换句话说就是在数字信息传送之前先进行一次具有较强抗干扰性的编码后，再发送通过抗干扰编码后的数字信息。这样，当收方收到数字信息后再进行解码就得到了发方发送的信息。比较有效的抗干扰编

3、码方法有两类：一是检错编码，二是纠错编码。通过对抽象代数和数论等有限域的知识的研究。人们找到了纠错码中一类重要的码——循环码。起初，人们认识到并感兴趣的是循环码的外在结构特点，即循环码的码字循环移位之后仍然是循环码。这一特点给循环码的编译码的实现带来了极大的便利。在后来的实践应用中，人们从抽象代数及代数几何的相关知识方出发，找到了循环码的纠错性能控制等方面更加吸引人的优越之处。电子科技大学硕士学位论文1．2循环码编码理论的现状当今是一个信息时代，时刻都有各种的信息进行传送，而对信息的准确性和安全性要求

4、也比以往更高了，尤其是商业领域体现得更加突出。在信息传送过程中，首要的是保证信息的准确性。在数字通信中码字的准确传送是信息高准确率的前提。对于单个或较少发生差错的编码方法的研究有了比较成熟方法和技巧。而对多个或成区间发生差错的代数编码方法还可做很多工作。循环码是一类能纠正成区间的差错的码。实际生活中码字在信道(尤其短波信道)中传送时，通常是成区间出现差错，即连续几个位的码元都发生差错，或连续几个位的码元除其中几个以外都发生差错。因此，循环码的编码和解码方法在通信工程有广泛研究和应用。循环码所拥有的高效

5、的解码算法和极强纠错能力得益于它的编码方法。随着代数几何的不断发展，循环码的编码算法也从当初的一重编码发展到多重编码。Grobner基的在代数几何中的广泛应用，为多重循环码的编码提供数学工具。1．3本文的主要内容本文首先介绍了吴特征列方法的一些基本概念及基本定理，接着对Grobner基方法给出比较详实的介绍。介绍了线性码的一些基本概念和定理。在研究用Grobner基方法求零维理想的生成元的基础上，介绍了一种用Grobner基方法对一重和多重循环码(以RS码为例)进行编码的算法。我们论证了多项式组P生成

6、的零维理想的吴特征列就是这个理想的G-roebner基G，并以此为基础，给出一个以吴特征列方法为基础的多重循环码(RS码)的编码算法，并给例子证明所用方法的可行性。1．4本文的结构安排本学位论文共分五章。第一章是绪论，主要概述了循环码编码研究的背景和意义、以及循环码编码理论的研究现状，并介绍了循环码编码方法的研究和本文中的主要工作。2第一章绪论第二章重点介绍了代数簇分解中的吴特征列(三角列)方法及其算法实现。第三章介绍了代数簇分解中Grobner基方法及Grobner基的性质和应用。第四章分为两部分，

7、第一部分主要介绍了编码理论中线性码及其实现编码的一些基础知识理论和一些编码算法。第二部分是本文的主要工作。介绍了一种用Grobner基方法求零维理想的生成元的基础上，对一重和多重循环码限S码)进行编码的算法。我们论证了多项式组P生成的零维理想的吴特征列是这个理想的Groebner基G，并以此为基础，给出一个以吴特征列方法为基础的多重循环码(RS码)的编码算法。第五章给出了本文总结并及以后工作的展望。电子科技大学硕士学位论文第二章特征列方法特征列的概念是J．F．Ritt在其微分代数的工作中对(微分)多项

8、式理想引进的。但Ritt的概念和方法未曾引起人们的注意。20世纪70年代末，吴文俊[2,20,21,22,23]在创立他的几何定理机器证明方法时注意到了Pitt的工作，并以此作为完善其机械化方法的构造性代数工具。吴方法在理论、算法、效率和实用上都大大发展了特征列方法，并将其用于各种几何推理和计算问题，从而引发了大量后续工作。吴的方法在于计算多项式组(而非理想)的特征列，它避免了Ritt算法中的不可约性限制，因而使得从任意多项式组有效地构造特征列成为可能。