角平分线（一）

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1、课题1.4、角平分线(一)课型新授课教学目标1．要求学生掌握角平分线的性质定理及其逆定理——判定定理，会用这两个定理解决一些简单问题。2．理解角平分线的性质定理和判定定理的证明。3．能够作已知角的角平分线，并会熟练地写出已知、求作和作法，可以说明为什么所作的直线是角平分线。教学重点角平分线性质定理及其逆定理。教学难点掌握角平分线性质定理及其逆定理并进行证明。教学方法教学后记教学内容及过程教师活动学生活动引入新课：我们曾用折纸的方法探索过角平分线上的点的性质，步骤如下：从折纸过程中，我们可以得出CD=CE，即角平分线上的点到角两边的距离相等．

2、你能证明它吗?讲授新课：请同学们自己尝试着证明它，然后在全班进行交流．已知：如图，OC是∠AOB的平分线，点P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D、E．求证：PD=PE．证明：∵∠1=∠2，OP=OP，∠PDO=∠PEO=90°，∴△PDO≌△PEO(AAS)．∴PD=PE(全等三角形的对应边相等)．角平分线的性质定理：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等．你能写出这个定理的逆命题吗?我们在前面学习线段的垂直平分线时，已经历过构造其逆命题的过程，我们可以类比着构造角平分线性质定理的逆命题．如果有一个点到角两边的距离相等，那么这个

3、点必在这个角的平分线上．此时有学生提问：“我觉得这个命题是假命题．角平分线是角内部的一条射线，而角的外部也存在到角两边距离相等的点．”事实上，从同一点出发的两条射线一般组成两个角，而“角的内部”通常是指其中小于180°的角的内部，其余部分为角的外部．如上图所示，到∠AOB两边距离相等的点的集合应是射线OC、OD、OE、OF，但其中只有射线OC(即在∠AOB内部的射线)才是∠AOB的平分线．因此逆命题中应加上“在角的内部”的条件．再来完整地叙述一下角平分线性质定理的逆命题。在一个角的内部且到角的两边距离相等的点，在这个角的角平分线上．拿出准备

4、好的纸折的角，在老师示范的同时按要求把角和角的边对折几次，观察折痕的性质。由折纸的过程，可以观察到折痕和角的边垂直，并且对应的折痕长度相等。说出猜想：折痕和角的两边垂直，并且对应的折痕长度相等。说明白已是通过折纸的过程和观察得到上述猜测的。加深对角平分线性质定理的理解。朗读：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。在读的同时加强记忆和理解。它是真命题吗?你能证明它吗?证明如下：已知：在么AOB内部有一点P，且PD上OA，PE⊥OB，D、E为垂足且PD=PE，求证：点P在么AOB的角平分线上．证明：PD⊥OA，PE⊥OB，∴∠PDO=∠PEO

5、=90°．在Rt△ODP和Rt△OEP中OP=OP，PD=PE，∴Rt△ODP≌Rt△OEP(HL定理)．∴∠1=∠2(全等三角形对应角相等)．逆命题利用公理和我们已证过的定理证明了，那么我们就可以把这个逆命题叫做原定理的逆定理．我们就把它叫做角平分线的判定定理。角平分线的判定定理：在一个角的内部，且到角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上。做一做：你能用什么办法平分一个已知角呢?能利用角平分线的性质定理和判定定理平分一个角吗？请在小组内交流．学生提出：可以用量角器、三角尺、角尺等以前常见的方法．教师提出：学习的是用直尺和圆规平分一个已知

6、角．已知：∠AOB(如图)求作：射线OC，使∠AOC=∠BOC．作法：1、在OA和OB上分别分别截取OD、OE，使OD=OE．2．分别以D、E为圆心，以大于DE的长为半径作弧，两弧在么AoB内交于点C．3．作射线OCOC就是∠AOB的平分线．(教学时，教师可以边介绍作法，边让学生动手完成整个操作过程)完成做法后，请学生说明回忆有关线段垂直平分线的知识，知道线段垂直平分线的性质定理和判定定理互为逆定理，通过类比联想，知道对于角平分线，也有类似的结论。回答：角平分线和要证明的命题是互逆命题。回忆线段垂直平分线性质定理的逆定理的构造方法，写出角平

7、分线性质定理的逆定理。与同桌互相检查。联想线段垂直平分线性质定理和判定定理的关系，有助于理解角平分线性质定理和判定定理的关系。依据作图的过程，参照老师的讲解，写出已知和求作以及作法。有的学生可能写得不够规范。思考这样的作法的合理性，添加辅助线，对作出来的射线给以证明。找到思路后，与同伴交流。大多数学生可以通过证明三角形全等说出理由。OC为什么是∠AOB的平分线，与同伴交流．从作图的过程中，不难发现OD=OE，CE=CD，OC=OC，△OCEC≌△OCD(SSS)．∴∠1=∠2，即OC是∠AOB的角平分线．随堂练习如图，AD、AE分别是△AB

8、C中∠A的内角平分线和外角平分线，它们有什么关系？解：∵AD平分∠CAB．∴又∠1=∠2=12∠CAB又∵AE平分∠CAF．∠CAB+∠CAF=180°，∴∠3=∠4=12∠CA