历年浙江省高等数学(微积分)竞赛--工科类试题

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1、04年浙江省大学生高等数学（微积分）竞赛试题（工科类）一．计算题（每小题15分，满分60分）1．计算：。解:原式其中原式.40①在课堂上作为一个典型的例子;②1．计算：。解:原式.其他想法:原式40后者,看来做不下去了!!!1．求函数在上的最大、小值。解:①在圆内(开集),,解得驻点,但不在圆域内.②在圆周上,求的极值,是条件极值问题.解得:驻点,故最大值为,最小值为.2．计算：，其中。40这题不能用对称、奇偶性等性质来做！二．（本题满分20分）设，求.解:,则,则两边对求阶导数,由莱布尼茨公式得:,

2、令,得:,而,则.40三．（本题满分20分）设椭圆在点的切线交轴于点，设为从到的直线段，试计算。解:方程两边对求导得:,则,直线段的方程为:令,,则,.40四．（本题满分20分）设函数连续，，且，试证明：，。证明:①由于,故,无论怎么分、怎么取，存在且相等，即，由于连续，故，；（理由说的不够充分）②假设存在，使得，不妨设，则，由于函数连续，故在内存在最大、最小值分别为，显然，而与矛盾，故假设错误，即，。五．（本题满分15分）判别级数的敛散性。解：斯特林公式：极限形式：.40故收敛.判别的敛散性:证明:

3、(1)证明,即1)当,显然成立;2)假设时也成立,即;3)当时,而是单调递增数列,而且有界(证明两个重要极限里第2个).,而,由夹逼定理得:.,而收敛,由比较判别法得:也收敛.40六．（本题满分15分）设函数在上连续，证明：，。证明:.许瓦兹不等式:①有限项情况:,(乘积和的平方小于等于平方和的乘积)②可推广到可数情况:;③均值的形式:;④积分的形式:2005年浙江省大学生高等数学(微积分)竞赛试题一、计算题（每小题12分满分散60分）1．计算2．设可导，求常数的值3．计算401．计算2．求函数的值。

4、二、（本题满分20分）设在点二阶可导，且，求和的值。三、（本题满分20分）证明：当时，四、（本题满分20分）设，试比较A，B，C的大小。五、（本题满分15分）设（1）求；（2）证明数列单调减少。六、（本题满分15分）对下列分别说明是否存在一个区间使，并说明理由。（1）（2）（3）2005年浙江省高等数学（微积分）竞赛试题解答一．1.解40.2.解：，，因为在处连续，所以，，，由在处可导，，于是.3.解：.4.解：，，，，，40.2.解：当时，；当时，；当时，；当时，.二．解：；；，，所以.三．证明：令

5、，；因为，；，；40，，所以，进而，，即得，.二．解：；，由于，得，，利用，，得，于是，故.五、设，.40（1）求；（2）证明数列单调减少.解：（1）显然故有.（2），，于是数列单调减少.六．解：（1），在上严格单调递增，欲使，必有，.考虑，，，，，所以存在区间，使.40（2）在上严格单调减少，欲使，必有，.，，所以存在区间，，使得.（3）在上严格递增，欲使，必须，.，，，此方程无实数解，故不存在区间，，使得.2006浙江省高等数学(微积分)竞赛试题一、计算题（每小题12分，满分60分）1、计算.解:

6、40。2、求.解:.403、求.解:.4、求过且与曲面的所有切平面皆垂直的平面方程.解:令则,,令所求平面方程为:,在曲面上取一点,则切平面的法向量为,则在曲面上取一点,则切平面的法向量为,则.解得:即所求平面方程为:.二、(15分)设,问有几个实根?并说明理由.解:当,当,且的增长速度要比来得快!所以无实根.三、(满分20分)求中的系数.解:当时,40故中的系数为.四、(20分)计算,其中是球面与平面的交线.解：而,,,故.五、(20分)设为非负实数,试证:的充分必要条件为.证明：必要性由于,则,.

7、充分性;要证明,只需证明:,这里,若,不等式显然成立;即只需证明:,40而,故只要说明:,即,当时,显然成立;假设当时,也成立,即;当时,.六、(15分)求最小的实数,使得满足的连续函数都有.解:,取,显然,而,取,显然,而,故最小的实数.2007浙江省高等数学(微积分)竞赛试题(解答)一.计算题（每小题12分，满分60分）1、求.解:。402、求.解:.3、求的值,使.解:被积函数是奇函数,要积分为零,当且仅当积分区间对称,即:,解得:.4、计算.解:,其中如右图40.5、计算,其中为圆柱面.解:被

8、积函数关于是奇函数,积分区域关于对称,二、(20分)设,,求:(1);(2).解:(1),40;(2)(图来说明积分上下).三、(满分20分)有一张边长为的正方形纸(如图),、分别为、的中点，为的中点，现将纸卷成圆柱形，使与重合，与重合，并将圆柱垂直放在平面上，且与原点重合，若在轴正向上，求：（1）通过，两点的直线绕轴旋转所得的旋转曲面方程；（2）此旋转曲面、平面和过点垂直于轴的平面所围成的立体体积.解::旋转曲面上任意取一点则的坐标为：，40化简得：所