第二十八讲数的整除

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1、第二十八讲数的整除能被2、3、5、7、11、13、17、19整除的数的特征能被2整除的数的特征是个位上是偶数，能被3整除的数的特征是所有位数的和是3的倍数（例如：315能被3整除，因为3+1+5=9是3的倍感）能被5整除的数个位上的数为0或5，能被7整除的数的特征   若一个整数的个位数字去掉,再从余下的数中,减去个位数的2倍,如果差是7的倍数,则原数能被7整除。如果数字仍然太大不能直接观察出来，就重复此过程。能被11整除的数的特征  把一个数由右边向左边数,将奇位上的数字与偶位上的数字分别加起来,再求它们的差,如果这个差是11的倍数(包括0),那么,原来这个数就一定能被11整除。例如：判断4

2、91678能不能被11整除。—→奇位数字的和9+6+8=23—→偶位数位的和4+1+7=12            23-12=11因此,491678能被11整除。这种方法叫“奇偶位差法”。能被13整除的数的特征  把一个整数的个位数字去掉，再从余下的数中，加上个位数的4倍，如果和是13的倍数，则原数能被13整除。如果数字仍然太大不能直接观察出来，就重复此过程。如：判断1284322能不能被13整除。128432+2×4=12844012844+0×4=128441284+4×4=13001300÷13=10012所以，1284322能被13整除。能被17整除的数的特征   把一个整数的个位数

3、字去掉，再从余下的数中，减去个位数的5倍，如果差是17的倍数，则原数能被17整除。如果数字仍然太大不能直接观察出来，就重复此过程。   例如：判断1675282能不能被17整除。167528-2×5=16751816751-8×5=167111671-1×5=1666166-6×5=136到这里如果你仍然观察不出来，就继续……6×5=30，现在个位×5=30>剩下的13，就用大数减去小数，30-13=17，17÷17=1；所以1675282能被17整除。能被19整除的数的特征把一个整数的个位数字去掉，再从余下的数中，加上个位数的2倍，如果差是19的倍数，则原数能被19整除。如果数字仍然太大不能

4、直接观察出来，就重复此过程数的整除性（一）　　三、四年级已经学习了能被2，3，5和4，8，9，6以及11整除的数的特征，也学习了一些整除的性质。这两讲我们系统地复习一下数的整除性质，并利用这些性质解答一些问题。　　数的整除性质主要有：　　（1）如果甲数能被乙数整除，乙数能被丙数整除，那么甲数能被丙数整除。　　（2）如果两个数都能被一个自然数整除，那么这两个数的和与差都能被这个自然数整除。12　　（3）如果一个数能分别被几个两两互质的自然数整除，那么这个数能被这几个两两互质的自然数的乘积整除。　　（4）如果一个质数能整除两个自然数的乘积，那么这个质数至少能整除这两个自然数中的一个。　　（5）几个

5、数相乘，如果其中一个因数能被某数整除，那么乘积也能被这个数整除。　　灵活运用以上整除性质，能解决许多有关整除的问题。　　例1在□里填上适当的数字，使得七位数□7358□□能分别被9，25和8整除。　　分析与解：分别由能被9，25和8整除的数的特征，很难推断出这个七位数。因为9，25，8两两互质，由整除的性质（3）知，七位数能被9×25×8=1800整除，所以七位数的个位，十位都是0；再由能被9整除的数的特征，推知首位数应填4。这个七位数是4735800。　　例2由2000个1组成的数111…11能否被41和271这两个质数整除？　　分析与解：因为41×271=11111，所以由每5个1组成的数

6、11111能被41和271整除。按“11111”把2000个1每五位分成一节，2000÷5=400，就有400节，　　因为2000个1组成的数11…11能被11111整除，而11111能被41和271整除，所以根据整除的性质（1）可知，由2000个1组成的数111…11能被41和271整除。　　例3现有四个数：76550，76551，76552，76554。能不能从中找出两个数，使它们的乘积能被12整除？　　分析与解：根据有关整除的性质，先把12分成两数之积：12=12×1=6×2=3×4。12　　要从已知的四个数中找出两个，使其积能被12整除，有以下三种情况：　　（1）找出一个数能被12整除

7、，这个数与其它三个数中的任何一个的乘积都能被12整除；　　（2）找出一个数能被6整除，另一个数能被2整除，那么它们的积就能被12整除；　　（3）找出一个数能被4整除，另一个数能被3整除，那么它们的积能被12整除。　　容易判断，这四个数都不能被12整除，所以第（1）种情况不存在。　　对于第（2）种情况，四个数中能被6整除的只有76554，而76550，76552是偶数，所以可以选76554和7655