二次根式的讲义

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1、0专题一二次根式【知识点1】二次根式的概念：一般地，我们把形如的式子叫做二次根式。二次根式的实质是一个非负数数a的算数平方根。【注】二次根式的概念有两个要点：一是从形式上看，应含有二次根号；二是被开方数的取值范围有限制：被开方数a必须是非负数。例1下列各式1），其中是二次根式的是_________（填序号）．例2使＋有意义的x的取值范围是（　　　）A．x≥0B．x≠2C．x>2D．x≥0且x≠2．[来源:学*科*网Z*X*X*K]例3若y=++2009，则x+y=练习1使代数式有意义的x的取值范围是（）A、x>3B、x

2、≥3C、x>4D、x≥3且x≠4练习2若，则x－y的值为（）A．－1B．1C．2D．3例4若，则=。例5在实数的范围内分解因式：X4-4X2+4=________例6若a、b为正实数，下列等式中一定成立的是（）：A、+=；B、=a2+b2；C、（+）2=a2+b2；D、=a—b；【知识点2】二次根式的性质：（1）二次根式的非负性，的最小值是0；也就是说（）是一个非负数，即0（）。注：因为二次根式（）表示a的算术平方根，而正数的算术平方根是正数，0的算术平方根是0，所以非负数（）的算术平方根是非负数，即0（），这个性质也

3、就是非负数的算术平方根的性质，和绝对值、偶次方类似。这个性质在解答题目时应用较多，如若，则a=0,b=0；若，则a=0,b=0；若，则a=0,b=0。-9-（2）（）文字语言叙述为：一个非负数的算术平方根的平方等于这个非负数。注：二次根式的性质公式（）是逆用平方根的定义得出的结论。上面的公式也可以反过来应用：若，则，如：，.（3）文字语言叙述为：一个数的平方的算术平方根等于这个数的绝对值。注：1、化简时，一定要弄明白被开方数的底数a是正数还是负数，若是正数或0，则等于a本身，即；若a是负数，则等于a的相反数-a,即；2

4、、中的a的取值范围可以是任意实数，即不论a取何值，一定有意义；3、化简时，先将它化成，再根据绝对值的意义来进行化简。（4）与的异同点不同点：与表示的意义是不同的，表示一个正数a的算术平方根的平方，而表示一个实数a的平方的算术平方根；在中，而中a可以是正实数，0，负实数。但与都是非负数，即，。因而它的运算的结果是有差别的， ，而-9-相同点：当被开方数都是非负数，即时，=；时，无意义，而.例7a、b、c为三角形的三条边，则____________.例8把(2-x)的根号外的（2-x）适当变形后移入根号内，

5、得（）A、B、C、D、例9若二次根式有意义，化简│x-4│-│7-x│。例10已知x、y是实数，且满足y=++1试求9x—2y的值例11若实数a满足+a=0,则有()A．a>0B．a≥0C．a<0D．a≤0例12下列命题中，正确的是（　　　）A．若a>b，则>B．若>a，则a>0C．若

6、a

7、=()2，则a=bD．若a2=b，则a是b的平方根例13是整数，则正整数的最小值是（）A、4；B、5；C、6；D、7．例14实数、在数轴上的位置如图所示，那么的结果是什么？例15已知已知,则例16a≥0时，、、-，比较它们的结果，下

8、面四个选项中正确的是（）．A．=≥-B．>>-C．<<-D．->=例17若0＜x＜1，则－等于………………………（　　）（A）　　　（B）－　　　（C）－2x　　　（D）2x【提示】(x－)2＋4＝(x＋)2，(x＋)2－4＝(x－)2．又∵　0＜x＜1，∴　x＋＞0，x－＜0．【答案】D．-9-【点评】本题考查完全平方公式和二次根式的性质．（A）不正确是因为用性质时没有注意当0＜x＜1时，x－＜0．练习3若

9、1－x

10、－＝2x－5，则x的取值范围是（　　　）A．x>1　　　B．x<4C．1≤x≤4D．以上都不对练习4若

11、时，则_______练习5若，则10x＋2y的平方根为_________练习6若，则等于（）A.1；B、；C、3；D、练习7已知，化简的结果是．练习8若试求的值。练习9已知，求的值。练习10若，求的值专题二二次根式的乘除【知识点1】二次根式的乘法法则：。得出：二次根式相乘，把被开方数相乘，而根号不变。将上面的公式逆向运用可得：积的算术平方根，等于积中各因式的算术平方根的积。例1化简：（1）＝______；（2）＝________．（3）__________（4）__________．练习1化简二次根式得（　　）Ａ．Ｂ．

12、Ｃ．Ｄ．例2下列各式中不成立的是（　　）-9-Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．练习2下列各式中化简正确的是（　　）Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．例3计算：-9-例4若b>0，x<0，化简：-9-【知识点2】二次根式的除法：（1）一般地，对于二次根式的除法规定商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根即【注】分母有理化二次根式的除法运算，通常是采用