引导学生运用数学模型解决实际问题

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1、引导学生运用数学模型解决实际问题著名数学家怀特海曾说：“数学就是对于模式的研究。”       所谓数学模型，是指对于现实世界的某一特定研究对象，为了某个特定的目的，在做了一些必要的简化假设，运用适当的数学工具，并通过数学语言表述出来的一个数学结构。数学中的各种基本概念，都以各自相应的现实原型作为背景而抽象出来的数学概念。各种数学公式、方程式、定理、理论体系等等，都是一些具体的数学模型。我们的数学教学说到底实际上就是教给学生前人给我们构建的一个个数学模型和怎样构建模型的思维方法，以使学生能运用数学模型解决数学问题和实际问题。   

2、     由此，我们可以看到，培养学生运用数学模型解决实际问题的能力，关键是把实际问题抽象为数学问题，通过解决数学问题，从而解决实际问题。本人结合实际教学谈谈运用数学模型，解决实际问题的实例。       实例一：二次函数与实际问题       1．中学课本中的实际例题。       在义务教育课程标准实验数学教材苏科版九年级上第34页习题10：某商场购进一批单价为16 元的日用品。若按每件20元的价格销售，每月能卖出360件，若按每件25元的价格销售，每月能卖出210件。假定每月销售件数y（件）与价格x（元/件）之间满足一次函数

3、。       （1）试求y与x之间的函数关系式。       （2）在商品不积压且不考虑其他因素的条件下，销售价格定为多少时，才能使每月的毛利润W最大？每月的最大毛利润是多少？       解：（1）y=-30x+960。       （2）设每月的毛利润为W元，则       W=（x-16）（-30x+960）       =-30x2+1440x-960×16       =-30（x-24）2+1920。       ∴当x=24时，W有最大值，W最大值=1920。       答：将售价定为24元时，每月的最大毛利润为

4、1920元。       2．在一场战争中，敌方战败，敌方准备乘飞机逃跑。我军战机监测到敌方的飞机位于自己正南30km外，正以3km/s的速度向北逃去，而我方战机的速度是4km/s，由东向西追，如图，请问我方战机在何时方能有把握把敌机击落（最近处）。       分析：设时间x秒，两机相距s千米。       那么s是斜边，两直角边分别为3xkm，（30-4x）km，则       S=■       =■       当x=■=4.8时，s有最小值       所以，经过4.8秒后，去击落敌机最有把握。             

5、  二次函数在各领域非常重要，上述二例说明了在经济、军事上的实际应用。当然在其他方面如体育方面、建筑方面等都能用到二次函数，只要认真观察，仔细寻找，我们不难发现数学就在身边，数学不再是简单地运算，而是生活中必不可少的成分。我们的生活与数学密不可分，我们通过学习数学为生活服务。因此，对于现实生活中普遍存在的最优化问题，如造价用料最少，利润产出最大等，可透过实际背景、建立变量之间的目标函数——二次函数，以转化为函数的极值问题。       实例二：不等式（或组）与实际问题        一群学生住若干间宿舍，每间住4人，剩19人无房住

6、；每间住6人，有一间宿舍住不满。       （1）设有x间宿舍，请写出x应满足的不等式组。       （2）可能有多少间宿舍和多少名学生？       分析：（1）设有x间宿舍，则有（4x+19）名学生，       根据题意，得：       ■       （2）解不等式组，得       9.5＜x＜12.5。       因为x是整数，所以x=10，11，12。       因此有三种可能，第一种，有10间宿舍，59名学生；第二种，有11间宿舍，63名学生；第三种，有12间宿舍，67名学生。       不等式在各领域

7、都非常重要，上面的例子在房间分配上就用到了不等式组，其实，在市场经营、生产决策和社会生活中都会用到不等式（或组）。如估计生产数量，核定价格范围，盈亏平衡分析，投资决策等，则可挖掘实际问题所隐含的数量关系，转化为不等式（组）的求解或目标函数在闭区间的最值问题。只要能建构好适当的数学模型，实际问题就迎刃而解了。       实例三：三角函数与实际问题       1.热气球的探测器显示，从热气球看一栋高楼顶部的仰角为30°，看这栋高楼底部的俯角为60°，热气球与高楼的水平距离为120m。这栋高楼有多高（结果精确到0.1m）？     

8、         分析：在Rt△ABD中，α=30°，AD=120。所以可以利用解直角三角形的知识求出BD；类似地可以求出CD，进而求出BC。       解：如图α=30°，β=60°，AD=120。       ∵tanα=■，tanβ=■，