数列二轮复习答案

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1、数列二轮复习答案1、解：（1）据条件得①当时，由，即有，解得．因为为正整数，故．当时，由，解得，所以．（2）方法一：由，，，猜想：．下面用数学归纳法证明．1当，时，由（1）知均成立；2假设成立，则，则时由①得因为时，，所以．，所以．又，所以．故，即时，成立．由1，2知，对任意，．（2）方法二：由，，，猜想：．下面用数学归纳法证明．1当，时，由（1）知均成立；2假设成立，则，则时由①得即　　　　　　②由②左式，得，即，因为两端为整数，则．于是　　　　③又由②右式，．则．因为两端为正整数，则，所以．又因时，为正整数，则　　　　④据③④，即时，成立．由1，2知，对任意

2、，．2、解：（1），∴当时，.当≥2时，=，∴此时··=·，∴……=……+设……+，∴……，∴∴·　　……6分（2）由可得①当时，由，可得∴对一切都成立，∴此时的解为.　②当时，由可得≥∴对一切都成立，∴此时的解为.由①，②可知对一切，都有的的取值范围是或3、答案：（Ⅰ）解：由已知：对于，总有①成立∴（n≥2）②①--②得∴∵均为正数，∴（n≥2）∴数列是公差为1的等差数列又n=1时，，解得=1∴.()（Ⅱ）证明：∵对任意实数和任意正整数n，总有≤.∴(Ⅲ)解：由已知，易得　猜想n≥2时，是递减数列.令∵当∴在内为单调递减函数.由.∴n≥2时,是递减数列.即是递

3、减数列.又,∴数列中的最大项为.4、（Ⅰ）解：由，解得或.由假设，因此.又由，得，即或.因，故不成立，舍去.因此，从而是公差为3，首项为2的等差数列，故的通项为.（Ⅱ）证法一：由可解得从而.因此.令，则.因，故.特别地，从而，即.证法二：同证法一求得及.由二项式定理知，当时，不等式成立.由此不等式有.证法三：同证法一求得及.下面用数学归纳法证明：.当时，，因此，结论成立.假设结论当时成立，即，则当时，.因，故.从而.这就是说当时结论也成立.综上对任何成立。5、（1）设满足题设的等比数列为,则，于是因此｜-｜+｜-｜+…+｜-｜=因为所以即故首项为1，公比为的等比

4、数列是B-数列。（2）命题1：若数列是B-数列，则数列是B-数列次命题为假命题。事实上，设，易知数列是B-数列，但由的任意性知，数列是B-数列此命题为。命题2：若数列是B-数列，则数列是B-数列此命题为真命题事实上，因为数列是B-数列，所以存在正数M，对任意的有即。于是所以数列是B-数列。（III）若数列{}是数列，则存在正数，对任意的有注意到同理：记，则有因此+故数列是数列6、解：（Ⅰ）必要性：∵，又∵，∴，即.充分性：设，对任意用数学归纳法证明.当时，.假设当时，，则，且，.由数学归纳法知，对任意成立.(Ⅱ)设，当时，，结论成立；当时，∵，∴.∵，由（Ⅰ）知

5、，∴且，∴，∴.(Ⅲ)设,当时，，结论成立；当时，由(Ⅱ)知，∴.∴.7、（1）设直线：，联立得，则，∴（舍去），即，∴（2）证明：∵∴由于，可令函数，则，令，得，给定区间，则有，则函数在上单调递减，∴，即在恒成立，又，则有，即.w.w.w.k.s.5.u.c.o.m8、证明(Ⅰ)先用数学归纳法证明0＜an＜1，n=1，2，3，…．(ⅰ)当n=1时，由已知，结论成立．(ⅱ)假设当n=k时结论成立，即0＜ak＜1．因为0＜x＜1时f′(x)=1-cosx＞0，所以f(x)在(0，1)上是增函数．又f(x)在[0，1]上连续，从而f(0)＜f(ak)＜f(1)，即0

6、＜ak+1＜1-sin1＜1．故当n=k+1时，结论成立.由(ⅰ)、(ⅱ)可知，0＜an＜1对一切正整数都成立．因为0＜an＜1时，an+1-an=an-sinan-an=-sinan＜0，所以an+1＜an.综上所述0＜an+1＜an＜1.（Ⅱ）设函数g（x）=sinx-x+x3，0＜x＜1.由(Ⅰ)知，当0＜x＜1时，sinx＜x.从而g′（x）=cosx-1+=-2sin2+＞-2（）2+=0.所以g（x）在（0，1）上是增函数.又g（x）在［0，1］上连续，且g（0）=0，所以当0＜x＜1时，g（x）＞0成立.于是g（an）＞0，即sinan-an+an

7、3＞0.故an+1＜an3.9、解：∵10Sn=an2+5an+6,①∴10a1=a12+5a2+6,解之得a1=2或a1=3.又10Sn－1=an－12+5an－2+6,(n≥2)，②由①－②得10an=(an2－an－12)+5(an－an－1),即（an+an－1）(an－an－1－5)=0.∵an+an－1＞0,∴an－an－1=5(n≥2).当a1=3时,a2=13，an=73,a1,a2,an不成比数列，a1≠3.当a1=2时,a2=12，an=72，有a32=a1a2,∴a1=2,∴an=5n－3.10、解（Ⅰ）由已知得a4=10，a5=15，an

8、=n+（n-1）+…+2