2.4二次函数的应用1

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1、2.4二次函数的应用1一、教学目标(一)知识与技能能够分析和表示不同背景下实际问题中变量之间的二次函数关系，并能够运用二次函数的知识解决实际问题中的最大(小)值．(二)过程与方法1．通过分析和表示不同背景下实际问题中变量之间的二次函数关系，培养学生的分析判断能力．2．通过运用二次函数的知识解决实际问题，培养学生的数学应用能力．(三)情感态度与价值观1．经历探究长方形和窗户透光最大面积问题的过程，进一步获得利用数学方法解决实际问题的经验，并进一步感受数学模型思想和数学知识的应用价值．2．能够对解决问题的基

2、本策略进行反思，形成个人解决问题的风格．3．进一步体会数学与人类社会的密切联系，了解数学的价值，增进对数学的理解和学好数学的信心，具有初步的创新精神和实践能力．教学重点1．经历探究长方形和窗户透光最大面积问题的过程，进一步获得利用数学方法解决实际问题的经验，并进一步感受数学模型思想和数学知识的应用价值．2．能够分析和表示不同背景下实际问题中变量之间的二次函数关系，并能够运用二次函数的知识解决实际问题．教学难点能够分析和表示不同背景下实际问题中变量之间的二次函数关系，并能运用二次函数的有关知识解决最大面积

3、的问题．三、教学过程分析第一环节创设问题情境，引入新课上节课我们利用二次函数解决了最大利润问题，知道了求最大利润就是求二次函数的最大值，实际上就是利用二次函数来解决实际问题．解决这类问题的关键是要审清题意，明确要解决的是什么，分析问题中各个量之间的关系，建立数学模型。在此基础上，利用我们所学过的数学知识，逐步得到问题的解答过程．本节课我们将继续利用二次函数解决最大面积的问题．活动内容：由四个实际问题构成1．问题一：如下图，在一个直角三角形的内部作一个长方形ABCD，其中AB和AD分别在两直角边上．(1)

4、设长方形的一边AB＝xm，那么AD边的长度如何表示？(2)设长方形的面积为ym2，当x取何值时，y的值最大？最大值是多少？下面请小组开始讨论并写出解题步骤．(1)∵BC∥AD，∴△EBC∽△EAF．∴．又AB＝x，BE＝40－x，∴．∴BC＝(40－x)．∴AD＝BC＝(40－x)＝30－x．(2)y＝AB·AD＝x(30－x)＝－x2＋30x＝－(x2－40x＋400－400)＝－(x2－40x＋400)＋300＝－(x－20)2＋300．当x＝20时，y最大＝300．即当x取20m时，y的值最大，最

5、大值是300m2．2．问题二：将问题一变式：“设AD边的长为xm，则问题会怎样呢？”解：∵DC∥AB，∴△FDC∽△FAE．∴．∵AD＝x，FD＝30－x．∴．∴DC＝(30－x)．∴AB＝DC＝(30－x)．y＝AB·AD＝x·(30－x)＝－x2＋40x＝－(x2－30x＋225－225)＝－(x－15)2＋300．当x＝15时，y最大＝300．即当AD的长为15m时，长方形的面积最大，最大面积是300m2．3．问题三：对问题一再变式如图,在一个直角三角形的内部作一个矩形ABCD，其中点A和点D分别

6、在两直角边上,BC在斜边上.(1).设矩形的一边BC=xm,那么AB边的长度如何表示？(2).设矩形的面积为ym2,当x取何值时,y的最大值是多少?4．问题四：某建筑物的窗户如下图所示，它的上半部是半圆，下半部是矩形，制造窗框的材料总长(图中所有黑线的长度和)为15m．当x等于多少时，窗户通过的光线最多(结果精确到0.01m)？此时，窗户的面积是多少？分析：x为半圆的半径，也是矩形的较长边，因此x与半圆面积和矩形面积都有关系．要求透过窗户的光线最多，也就是求矩形和半圆的面积之和最大，即2xy＋x2最大，

7、而由于4y＋4x＋3x＋πx＝7x＋4y＋πx＝15，所以y＝．面积S＝πx2＋2xy＝πx2＋2x·＝πx2＋＝－3.5x2＋7.5x，这时已经转化为数学问题即二次函数了，只要化为顶点式或代入顶点坐标公式中即可．解：∵7x＋4y＋πx＝15，∴y＝．设窗户的面积是S(m2)，则S＝πx2＋2xy＝πx2＋2x·＝πx2＋＝－3.5x2＋7.5x＝－3.5(x2－x)＝－3.5(x－)2＋．∴当x＝≈1.07时，S最大＝≈4.02．即当x≈1.07m时，S最大≈4.02m2，此时，窗户通过的光线最多．第

8、二环节归纳升华解决此类问题的基本思路是：(1)理解问题；(2)分析问题中的变量和常量以及它们之间的关系；(3)用数学的方式表示它们之间的关系；(4)做函数求解；(5)检验结果的合理性，拓展等．第三环节课堂练习，活动探究活动内容：1.用48米长的竹篱笆围建一矩形养鸡场,养鸡场一面用砖砌成,另三面用竹篱笆围成,并且在与砖墙相对的一面开2米宽的门(不用篱笆),问养鸡场的边长为多少米时,养鸡场占地面积最大?最大面积是多少?MABCDPQR2.正方形