修正无阻尼结构系统的一种有效迭代法

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1、万方数据2016，36A(5)：886—900砌㈣缀％出数学物理学报http：∥actams．wipm．ac．cn修正无阻尼结构系统的一种有效迭代法+·袁永新2赵文华3刘嗥(1湖北师范大学数学与统计学院湖北黄石435002；2湖北师范大学图书馆湖北黄石4350023南京航空航天大学理学院南京210016)摘要：结构动力学模型修正就是使得分析结果与实验结果的差最小化的一种程序．该文给出了一种基于不完全测量模态数据同时修正质量矩阵与刚度矩阵的迭代方法．通过此方法，在不计舍入误差的情况下，通过选取特殊的初始矩阵对，经有限步迭代，可得到

2、满足特征方程的最优近似质量矩阵与刚度矩阵，并且保持了初始模型的高阶未测量且未知的特征信息．两个数值例子验证了该文给出的迭代算法是有效的．关键词：模型修正；迭代算法；部分指定谱信息；无溢出；无阻尼振动系统；最优逼近．MR(2010)主题分类：15A24；65F18中图分类号：0241文献标识码：A文章编号：1003—3998(2016)05—886—151引言利用有限元技术，n自由度的离散保守力学系统的自由响应可以由下面的二阶微分方程来刻画耽百(￡)+K。q(t)=，(￡)，(1．1)其中耽，致∈R删”分别是分析质量矩阵与刚度矩阵

3、，q(￡)是n×l位移向量，，(幻是n×1外力向量。通常，％是实对称正定矩阵，‰是实对称半正定矩阵，方程(1。1)通常被称为有限元分析模型．考虑方程(1．1)的齐次部分，并假定方程(1．1)的位移响应是谐波的，即q(t)=z@)e“。，那么结构特征问题可表示为jGzj=AJA％zJ，歹=1，2，⋯，礼，(1．2)其中～=嵋是第歹个特征值，巧是第J个特征向量．众所周知，特征值与特征向量在物理学上可解释为自然频率的平方及模态振型．设A=[矧一阻而]，收稿日期；2015—12—26；修订日期：2016—06—28E—mail：yual

4、lyx一703@163．com}基金项目：国家自然科学基金(11401305)资助supportedbytheNsFc(11401305)万方数据No．5袁永新等：修正无阻尼结构系统的一种有效迭代法887其中A1=diag{A1，·一，入p)，A2=diag{Ap+l，⋯，A。)，x1=[z1，⋯，zp]，x2=[zp+1，·一，z。]易见(1．2)式的n个特征值一特征向量关系式可以组装为如下的矩阵方程M。X入=K。X(1．3)无阻尼振动模态的一个重要性质是它们关于质量矩阵的正交性，即xi％X=厶．(1．4)在现代结构的动力学分

5、析中，许多努力均致力于推导准确的结构动力学有限元模型．许多应用，如验证创新结构设计，评估现有结构对地震或强风的影响，结构控制的实施和结构的健康监测等都需要准确的结构模型．但有限元模型可能有一些误差或不确定性，例如应用有限元技术将连续的结构离散为一个在节点上互相关联的离散结构会产生离散误差．而其它的不确定性可能是由于工程师对单元的选择，对几何特性的假设及对结构的约束条件，边界条件和连接条件等进行简化处理所导致．当用动力测试对分析模型进行验证时，通常自然频率和模态，与实测结果会不一致。结构动力学模型修正即为利用结构现场实测的振动信息

6、修正结构有限元分析模型，使得修正后结构分析的模态参数与试验值趋于一致．在进行模型修正时，总期望测量的低阶模态数据能够融于修正模型而不改变原模型的高阶模态数据，这样的修正称为无溢出模型修正．设A，∈Rp×口，x1∈R似p是已知的初始模型的前p个特征对．剩余的特征信息A2∈R协一p)×协～引，x2∈R似(一p)是未知的且需保持不变的．之所以要关注无溢出现象是由于测量的模态数据一般是不完整的，而原模型的高阶模态数据或是可接受的而不必在修正中引进新的振动，或是工程师对这些高阶模态数据根本就一无所知．在过去的40多年，结构动力学模型修正问

7、题受到了相当多的关注．应用测量响应数据修正无阻尼结构系统的质量矩阵与刚度矩阵的许多模型修正技术，已有文献『1—10]等进行了讨论，这些方法均为直接法且计算效率较高．然而，这些方法不能保证额外的，虚假的模态不被引入到有意义的频率范围[11】，即，这些方法不能保证修正是无溢出的．最近，在假定质量矩阵是准确的情况下，文献『121提出了一个修正无阻尼结构系统的无溢出直接修正法．文献[13—15]提出了修正阻尼结构系统的无溢出方法。文献[16]发展了保持矩阵正定性的无溢出直接方法．注意到用迭代方法进行模型修正在这些年被关注较少，本文的目的

8、就是建立一个修正有限元模型的无溢出迭代方法．在数学上，同时修正质量矩阵与刚度矩阵可以归结为如下的反特征值问题．问题IEP设T=diag{p1，⋯，脚]-∈Rp×p和z=【z1，⋯，名pI∈R似p分别是测量的特征值与特征向量矩阵，其中p《n．求对称矩阵M和K使得M