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《高等数学课件D921、2偏导数及高阶偏导数》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、第二节偏导数与全微分机动目录上页下页返回结束一、偏导数的定义二、偏导数的计算偏导数的定义与计算第九章三、高阶偏导数7/22/2021高等数学课件一、偏导数的定义引例:研究弦在点x0处的振动速度与加速度,就是中的x固定于求一阶导数与二阶导数.x0处,关于t的机动目录上页下页返回结束将振幅7/22/2021高等数学课件定义1.在点存在,的偏导数，记为的某邻域内则称此极限为函数极限设函数机动目录上页下页返回结束注意:7/22/2021高等数学课件同样可定义对y的偏导数若函数z=f(x,y)在域D内每一点(x,y)处对x则该偏导数称为偏导函数,也简称为偏导数,记
2、为机动目录上页下页返回结束或y偏导数存在,7/22/2021高等数学课件例如,三元函数u=f(x,y,z)在点(x,y,z)处对x的偏导数的概念可以推广到二元以上的函数.机动目录上页下页返回结束偏导数定义为(请自己写出)7/22/2021高等数学课件二元函数偏导数的几何意义:是曲线在点M0处的切线对x轴的斜率.在点M0处的切线斜率.是曲线机动目录上页下页返回结束对y轴的7/22/2021高等数学课件函数在某点各偏导数都存在,∵例注意：但在该点不一定连续.上节例目录上页下页返回结束而f(x,y)在点(0,0)并不连续!7/22/2021高等数学课件连续和偏
3、导数的关系.例思考：上节例目录上页下页返回结束证明：所以在处连续；知不存在；不存在。同理由偏导数的定义7/22/2021高等数学课件例1.求解法1:解法2:在点(1,2)处的偏导数.机动目录上页下页返回结束二、偏导数的计算7/22/2021高等数学课件例2.设证:例3.求的偏导数.解:求证机动目录上页下页返回结束7/22/2021高等数学课件偏导数记号是一个例4.已知理想气体的状态方程求证:证:说明:(R为常数),不能看作分子与分母的商!此例表明,机动目录上页下页返回结束整体记号,7/22/2021高等数学课件例5.已知求解:方法1先求导，后代值机动目录
4、上页下页返回结束7/22/2021高等数学课件例5.已知求解:方法2直接用定义机动目录上页下页返回结束方法3代值7/22/2021高等数学课件三、高阶偏导数设z=f(x,y)在域D内存在连续的偏导数若这两个偏导数仍存在偏导数，则称它们是z=f(x,y)的二阶偏导数.按求导顺序不同,有下列四个二阶偏导机动目录上页下页返回结束数:7/22/2021高等数学课件类似可以定义更高阶的偏导数.例如，z=f(x,y)关于x的三阶偏导数为z=f(x,y)关于x的n–1阶偏导数,再关于y的一阶机动目录上页下页返回结束偏导数为7/22/2021高等数学课件例6.证明函数满
5、足拉普拉斯证：利用对称性,有方程机动目录上页下页返回结束7/22/2021高等数学课件例7.求函数解:注意:此处但这一结论并不总成立.机动目录上页下页返回结束的二阶偏导数及7/22/2021高等数学课件特例:二者不等机动目录上页下页返回结束7/22/2021高等数学课件则证明目录上页下页返回结束定理.例如,对三元函数u=f(x,y,z),说明:本定理对n元函数的高阶混合导数也成立.函数在其定义区域内是连续的,故求初等函数的高阶导数可以选择方便的求导顺序.因为初等函数的偏导数仍为初等函数,当三阶混合偏导数在点(x,y,z)连续时,有而初等7/22/2021
6、高等数学课件证:令则则机动目录上页下页返回结束定理.令7/22/2021高等数学课件同样在点连续,得机动目录上页下页返回结束7/22/2021高等数学课件练习1解答提示:即x＝y＝0时,机动目录上页下页返回结束7/22/2021高等数学课件练习2解答提示:机动目录上页下页返回结束设所求的倾角为β,由偏导数的定义,得7/22/2021高等数学课件内容小结1.偏导数的概念及有关结论定义;记号;几何意义函数在一点偏导数存在函数在此点连续混合偏导数连续与求导顺序无关2.偏导数的计算方法求一点处偏导数的方法先代后求先求后代利用定义机动目录上页下页返回结束7/22/
7、2021高等数学课件补充题设方程确定u是x,y的函数,连续,且求解:机动目录上页下页返回结束7/22/2021高等数学课件
