第七 种群竞争模型

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1、种群竞争模型一.问题的提出Causs根据实验分析，得出结论“吃同种食物的两种不同生物是不能长期共存的。”你如何理解这句话这里不妨将我们讨论的对象想象为生活在同一草原上的羚羊和老鼠。二.模型假设1.假设种群密度相当。2.假设种群个体都是健康的。3.假设没有受自然灾害的影响，只是靠搞自身的竞争力三.符号说明以、表示处于相互竞争关系中甲、乙二种群在时刻的数量，1． 资源有限，设其总量为，分别表示甲、乙二种群在单种群情况下自然资源所能承受的最大种群数量；2． 种群数量的增长率与该种群数量成正比，同时也与有闲资源成正比；3． 

2、各种群在对所占据资源的利用上是不充分的，分别表示甲、乙二种群对对方已占用资源的相对挑剔程度，通俗的讲，是在对方用过的盘子里捡“剩骨头”。比方，若时，表示在乙种群看来，甲种群是“奢侈的”，它可以在甲种群用过的盘子里捡到“剩骨头”，若时，说明乙种群在食物选择上是“过分”挑剔的，或者可理解为，对于乙种群，甲种群在资源利用上对资源有破坏性；换一个说法，反映了甲、乙二种群适应能力，越小、越大，则甲种群的相对适应能力越强；4． 分别表示甲、乙二种群的固有增长率。四.模型建立根据模型假设，可得如下数学模型：经化简，得：五.模型求解

3、与分析模型方程的解没有解析表达式，我们的兴趣和目的是：当充分大时，、的变化趋势怎样？利用平衡点的稳定性，对两种群的变化趋势可作出判断。令模型方程的右端项，求解可得该模型的四个平衡点：、、、。1．讨论平衡点的稳定性为此，将微分方程的右端函数以其在的一阶Taylor展式取代，构造线性动力系统，此时系数矩阵，其两特征值按照上一节中判断平衡点稳定性的方法，计算得，，，故是不稳定性的（结点）；这表明两种群不会同时灭绝。2． 确定平衡点的稳定性将微分方程的右端函数以其在的一阶Taylor展式取代，构造线性动力系统，此时系数矩阵为

4、，的两个特征值分别为：，按照判断平衡点稳定性的方法，计算得：当且仅当时，平衡点是（局部）稳定的；条件表示在消耗供养乙的资源中甲强于乙，此时，乙种群终将在竞争中灭绝，而甲种群能够一直存活下去并趋向于其最大容量。3． 确定平衡点的稳定性与2的讨论类似，可以得平衡点是（局部）稳定的充要条件为；条件表示在消耗供养甲的资源中乙强于甲，此时，甲种群终将要在竞争中灭绝，而乙种群能够一直存活下去。4． 确定平衡点的稳定性平衡点只有在第一象限内方有实际意义，为此应有同时大于“1”或同时小于“1”，采用类似2的分析，可以得到当同时大于“

5、1”时，平衡点为一鞍点，是不稳定的；当同时小于“1”时，平衡点为一稳定的结点。表示在消耗供养甲的资源中乙弱于甲，表示在消耗供养乙的资源中甲弱于乙，二者同时成立，于是二者共存，甲、乙两种群将分别趋向于非零的有限值