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《李雅普诺夫矩阵方程的新解法》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。
1、第20卷第3期江汉石油学院学报Vol.20No.31998年9月JOURNALOFJIANGHANPETROLEUMINSTITUTESep.1998李雅普诺夫矩阵方程的新解法汤学炳(江汉石油学院电子与信息工程系,荆州434102)摘要通过对矩阵的分解得到了求解李雅普诺夫矩阵方程的解析方法,从而获得方程的精确解。该方法具有广泛的适用性,且可以用计算机程序实现。例题的计算结果表明,该方法是正确有效的。主题词矩阵;方程;(Lyapunov方程);分解;变换;解析解分类号O231[1～3]在现代控制理论中,经常遇到求解李雅普诺夫(Lyapunov)方程的问题。对于求解[4,5]李雅
2、普诺夫方程已有不少方法。笔者在这里提出通过对矩阵的分解,求解李雅普诺夫方程的新解法。它可获得方程的精确解,也便于用计算机程序实现。1预备知识n×n定义1对于矩阵A∈C,若其所有相异的特征值,其代数重复度和几何重复度相等时,则称该矩阵是单纯矩阵。设A为n阶单纯矩阵,具有R个互异的特征值为K1,K2,⋯,KR,R≤n,则必存在n个线性独立的特征向量。引理1若A为单纯矩阵,则矩阵A可以分解为RA=∑KiEi(1)i=1式中,Ei为幂等矩阵(i=1,2,⋯,R),且具有下列性质2i)Ei=Eii=1,2,⋯,Rii)EiEj=0i≠j;i,j=1,2,⋯,RRiii)∑Ei=Ii=1
3、证明见参考文献[6]。引理2若A具有n重特征K,且只有一个独立的特征向量时,则矩阵A可以分解为A=KE+N(2)式中,E为幂等矩阵;N为幂零矩阵;且具有下列性质2i)E=En-1nii)N≠0N=0汤学炳,男,1940年生,硕士,副教授,现从事控制理论的教学与研究。第3期汤学炳:李雅普诺夫矩阵方程的新解法·127·iii)EN=NE=N证明当A为具有n重特征值的n阶矩阵时,则存在非奇异变换矩阵P,使得K1101K1101-1PAP=J=ww=K+wwww1w1K10或J=KI+U(3)n-1n-1U为幂零矩阵,且满足U≠0,U=0。用P左乘式(3),用P右乘式(3)得-1A=
4、PJP=KE+N(4)-12-1-1-1i)E=PIPE=PIPPIP=PIP=E-12-1-12-1n-1n-1-1ii)N=PUPN=PUPPUP=PUP⋯N=PUP≠0nn-1N=PUP=0-1-1-1-1-1-1iii)EN=PIPPUP=PUP=NNE=PUPPIP=PUP=N引理3设A为n阶矩阵,其特征值K1,K2,⋯,KR的重数分别为k1,k2,⋯,kR,且每个特征值只有一个独立的特征向量,则矩阵A可以分解为RA=∑(KiEi+Ni)(5)i=1式中00ww00-1-1Ei=PIiPNi=PUiP00ww00Ei和Ni分别为幂等矩阵和幂零矩阵,且具有下列性质R2
5、i)Ei=EiEiEj=0i≠j,i,j=1,2,⋯,R∑Ei=Ii=12ii)NiNi=NiNiNj=0i≠ji,j=1,2,⋯,Rk-1kNii≠0Nii=0ki=k1,k2,⋯,kRiii)EiNi=NiEi=NiEiNj=NiEj=0i≠ji,j=1,2,⋯,R证明由矩阵的分块乘法,考虑引理1和引理2证明结果,即可证明上述结论。2李雅普诺夫矩阵方程的解法已知李雅普诺夫矩阵方程为TPA+AP=Q(6)n×n定理1设A∈C,方程(6)存在唯一解,当且仅当Ki+Kj≠0,T其中,Ki,Kj分别是A和A的特征值。证明见参考文献[4]·128·江汉石油学院学报第20卷定理2若A
6、为单纯矩阵,则式(6)的解为RRTEjQEiP=∑∑(7)i=1j=1Ki+Kj证明将式(1)代入式(6),得RRTP∑KiEi+∑KjEjP=Q(8)i=1j=1T用Ej左乘式(8),用Ei右乘式(8),得TTEjQEiEjPEi=(9)Ki+KjRR对式(9),取i=1,2,⋯,R,j=1,2,⋯,R,将所得各式相加,考虑∑Ei=I,∑Ej=I,则得i=1j=1方程(6)的解为RRTEjQEiP=∑∑i=1j=1Ki+Kj定理3若A可分解为式(5)的形式,则方程(6)的解为RRki-1TTmTmEiQEjmEiQNj+(Ni)QEjP=∑∑K+∑(-1)m+1+i=1j=
7、1i+Kjm=1(Ki+Kj)ki-1kj-1Tmkm+k(m+k)!(Ni)QNj∑∑(-1)m+k+1(10)m=1k=1m!k!(Ki+Kj)T证明将式(5)的矩阵A及其转置矩阵A和由式(10)表示的矩阵P代入式(6)中得RRTki-1TmTmTEiQEjmEiQNj+(Ni)QEj)PA+AP=∑∑+∑(-1)m+1+i=1j=1Ki+Kjm=1(Ki+Kj)ki-1kj-1RTmkm+k(m+k)!(Ni)QNj∑∑(-1)m!k!m+k+1∑(KiEi+Ni)+m=1k=1(Ki+Kj)i=
