求解方程近似解的改进双曲线型迭代算法

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1、第29卷第2期北京化工大学学报Vol.29,No.22002年JOURNALOFBEIJINGUNIVERSITYOFCHEMICALTECHNOLOGY2002求解方程近似解的改进双曲线型迭代算法3马世海田文德姚飞(北京化工大学化学工程学院,北京100029)摘要:应用双曲线逼近法,在分析了迭代算法思想的基础上,结合过程模拟与系统仿真的实际,推导出求解方程f(x)=0近似根新型迭代算法,并给出了迭代格式和计算方法。计算结果表明,用此算法求解方程的根,收敛速度及稳定性均好于割线法,初值选取范围比牛顿法和割线法宽。此算法的提出对于方程求根的理论分析和工程应用都

2、有十分重要的意义。关键词:方程求解;迭代算法;过程模拟;数值方法中图分类号:O2410普遍的迭代算法的基本思想是用近似曲线f(x)来引言0逼近原曲线f(x),求解近似曲线的零点即f(x)=过程模拟及系统仿真中,经常遇到求解方程及0从而得出原方程的根。目前常用的典型迭代算法方程组的问题,尤其是对于一元方程求根的问题更有:牛顿法(Newtoniterativealgorithm)、割线法(Se2是屡见不鲜。对于求解方程cantiterativealgorithm)以及抛物线法(Mulleritera2f(x)=0tivealgorithm)[2]。的根,如何通过

3、数值方法求解,人们已经做了许多研牛顿法是利用切线对曲线进行逼近得到迭代序究,其中最常用且有效的数值计算方法是迭代法。[3]列:早期的简单迭代算法虽然可用于求解方程的根,但f(xk)是算法的收敛速度比较慢,并且有时有发散现象,尤xk+1=xk-f′(xk)(1)其当初值选取不当时,则有可能无法求得方程的正该法为单点迭代法,具有局部收敛性,收敛速度快,确根;同时算法求解的稳定性也不十分理想。而随收敛阶为2阶;但必须计算函数的导数,且对初值的后进行改进的迭代算法,虽然在收敛速度及计算精选取要求比较严格,有时因振荡或发散使迭代不收[1]度上都有了很大的提高,但是这些

4、算法在过程模敛;对于函数导数无法求取时,牛顿法则无能为力。拟及系统仿真的实际应用中,其收敛的稳定性,以及割线法通过割线对曲线逼近,为避开对函数的对初值的过高依赖性仍不能满足工程实际的需要。[3]求导而用差商代替求导,其迭代序列为:因此,如能找到一种迭代格式简单、收敛速度快、不f(xk)xk+1=xk-(xk-xk-1)(2)易发散且对初值依赖性不高的迭代算法来求解方程f(xk)-f(xk-1)的近似根,则不仅具有理论意义,而且还具有十分重该法为两点迭代法,具有局部收敛性,收敛速度要的工程实际意义。较慢,收敛阶为11618阶,不用计算函数的导数。但该算法的迭代

5、格式中有两个比较接近数相减作分1迭代方法的思想母,严重影响了算法收敛的稳定性。当曲线y=f(x)的表达式比较复杂或者含有抛物线法是通过3点作抛物线对曲线逼近,应[4]非线性部分,难以用解析方法写出自变量x的表达用拉格朗日插值公式得到迭代序列。该法收敛式时,通常用一定的算法求解其近似精确解。应用速度较牛顿法慢,收敛阶为1183阶;同样该算法收敛稳定性极差,且无法解决重根。在解决工程实际收稿日期:2001206218问题时很少有人应用。第一作者:男,1969年生,硕士生基于上述分析并结合过程模拟及系统仿真的实3通讯联系人际,在求解工程实际问题时,要求迭代算法首先

6、具有第2期马世海等:求解方程近似解的改进双曲线型迭代算法·33·很好的收敛稳定性,并且有较高的收敛速度,同时算由式(8)得式(12)和(13)法对计算初值的选取依赖性较低。随着计算机性能Δx1+a″Δf1(x)+b″Δx1Δf1(x)=0(12)的不断提高,对算法收敛速度的要求有所降低。由Δx2+a″Δf2(x)+b″Δx2Δf2(x)=0(13)此提出一种新型的迭代算法,该迭代算法具有较高其中:定义的收敛稳定性及收敛阶,其对初值的选取要求不高,Δx1=xn-1-xn-2,Δx2=xn-xn-2;可用于解决工程实际问题。Δf1(x)=f(xn-1)-f(xn

7、-2);2新迭代算法的推演Δf2(x)=f(xn)-f(xn-2)求解由式(12)和(13)组成的方程组,可以得到a″和211迭代格式的推导b″两个系数的值如下考虑到双曲线的特点对称且单调,以双曲线逼Δx1Δx2(Δf2(x)-Δf1(x))近原方程曲线。即以双曲线a″=-Δ(14)f1(x)Δf2(x)(Δx2-Δx1)f(x)=a0+b0x+c0f(x)+d0xf(x)(3)Δx1Δf2(x)-Δx2Δf1(x)b″=(15)逼近原曲线。且逼近方程Δf1(x)Δf2(x)(Δx2-Δx1)a0+b0x+c0f(x)+d0xf(x)=0(4)213新迭代算

8、法的具体计算步骤具有单根,避免了重根的出现。(1)给