1-3梯度-散度-旋度

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1、梯度、散度、旋度11--33梯度－散度－旋度1.标量的梯度2.矢量的通量、散度、高斯定理3.矢量的环流、旋度、斯托克斯定理“三度”、“三定理”4.亥姆霍兹定理5.坐标系(复习)——“三度”、“三定理”梯度、散度、旋度(English)标量的“梯度”等值面：Gradient——grad•等温线[‘greidi:ənt]•等高线bdDivergence——diva等值面c？“爬山”[dai’və:dʒəns]同样的增量情况下沿什么方向最“陡”？Curl——curludlu+du[kə:l]——数学模型：标量函数U，ll+dl沿某个方向的变化率情况o标量函数U,沿某个方向

2、的变化率情况标量沿其他方向的变化率——数学模型∂U∂U∂n∂Ud方向导数：ΔUdU==cosθl,n=(∇U)•al⇒∂l∂n∂l∂nΔldl引申出去：d梯度是表示标量最大空间增长率dU=(∇U)•dl的大小和方向的的大小和方向的矢量矢量。ddU∇U=gradU=an引入算符——哈密顿算符：∇Δldn等值面HamiltonianGradient——grad1不同坐标系下的表示如何记忆？d∂d∂d∂d⇒∇笛卡儿坐标系中：∇=ax+ay+azdl∂x∂y∂z笛卡儿坐标系中微分长度dd∂∂∂1ddddd柱面坐标系中：∇=aa++adl=axdx+aydy+azdzrzφ∂

3、∂∂rrφzd∂d∂d∂∇=a+a+axyzddd∂∂11∂∂x∂y∂z球坐标系中：∇=aaa++Rθφ∂∂⋅RRθRsinθφ∂dUdU⇒∇⇒∇dldl柱面坐标系中微分长度球坐标系中微分长度dddddddddl=+⋅+adrrzardφ(φ)adzdl=+⋅+⋅⋅adRRaθφ(Rdθ)a(Rsinθφd)d∂dd11∂∂dd∂∂1d∂∇=+⋅aaRθφ+a⋅∇=aa+⋅+a∂RR∂⋅∂θRsinθφrzφ∂∂rrrz∂例题答案1已知球坐标系下：V=V(R,θ)=V⋅R⋅cosθ0d令：E=−∇VddddE=−∇V=−(acosθ−asinθ)VRθ0求：E=?法

4、一：直接法——求坐标系梯度公式！dE=−∇V=?dd∂11∂∂d∇=aa+⋅+a⋅Rθφ∂∂⋅RRθRsinθφ∂2答案2？法二：分析法——找规律！答案1V=V(R,θ)=V⋅R⋅cosθ=V⋅zddd00E=−∇V=−(acosθ−asinθ)VzRθ0利用笛卡儿坐标系！答案2d∂d∂d∂∇=a+a+aθx∂xy∂yz∂zRddyϕE=−∇V=−aVz0ddE=−∇V=−aVz0都对!!x作业：求解直角坐标、球坐标彼此间的关系矢量的“通量”和“散度”ddda=acosθ−asinθ矢量沿某一有向曲面的的面积分面积分称为称为通过该面的通过该面的通量。ZRθdhhhh

5、a=?矢量A沿某一有向曲面S的面积分为A通过S的通量。xdhhhddS=adSa=?dd通量(Flux)∫A⋅dSny⎡⎤⎡aa???⎤⎡⎤sxR⎢⎥⎢dd⎥⎢⎥aa=???⎢⎥⎢y⎥⎢θ⎥Sdd⎢⎥⎢⎣⎦⎣aaz???⎥⎦⎢⎣φ⎥⎦C散度不同坐标系下的表示定义：定义：单位体积的单位体积的净流散通量d∂A∂A∂Axyz笛卡儿坐标系中：∇•A=++∂x∂y∂zdd⎛∫A•ds⎞dlim⎜⎟hdivA=⎜S⎟11∂∂∂AφAzΔV→0ΔV柱面坐标系中：∇•=⋅Ar()⋅Ar+⋅+⎜⎜⎟⎟rr∂∂rφ∂z⎝⎠球坐标系中：h11∂∂21∂Aφ∇•=AR2⋅()⋅AR+⋅()

6、Aθ⋅sinθ+⋅RR∂R⋅∂sinθθθR⋅∂sinφ3笛卡儿坐标系中：散度Divergence——divd∂d∂d∂⎛∫Ad•dsd⎞∇=ax+ay+azdlim⎜S⎟∂x∂y∂z散度定义divA=⎜⎟ΔV→0ΔV⎜⎜⎟⎟⎝⎠d∂d∂d∂∇•?=(a+a+a)•?xyz∂x∂y∂z定义：定义：单位体积的单位体积的净流散净流散通量通量dddivA=∇•A那么：ddd∫(∇•A)dv=∫A•dsVS散度定理应用ddd•Howavectorfieldischangesaboutapointisoftenmore∫(∇•A)dv=∫A•dsimportantthanth

7、evalueofthefieldatthatpoint.VS•Forvectors,twodifferentindicationsoftheirratesofchangearenecessarytocompletelycharacterizethe矢量场散度的体积分changes.＝该矢量穿过包围该体积的封闭曲面的的总通量总通量•Theyaredivergenceandcurl也叫“高斯定理”————Gauss’sLawGauss’sLaw高斯定理：找发散矢量场的“源”Example:Netpositivefluxddî∫AdS•>0SStreamlinesar