角动量与对称性

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1、第五章角动量与对称性§5.1力矩动量及其守恒定律、动能及机械能守一、对转轴的力矩恒定律并未完全反映机械运动的全部特点如：同样两个质量均为m小球，在不τ=r⋅Fsinαz同位置以同样速度作用于门，其效果显然不同。注：rr我们引入一个新物理量：角动量α为r与F之间的夹角二、力对点的力矩rrrτ=r×Frrrτ方向垂直于r与F决定的平面rr注意：例：讨论圆锥摆中力TW及其合力对点1)定义中与位矢有关，故力矩与参考点的选O和A点的力矩（如图）择有关；2)形象地，力矩大小相当于以位矢与力为邻边A点：τw=rWsinατT=0所组成的平行四边形面积；⎛π⎞3)合力对某点的力矩等于分力对同一点力

2、矩的τ合=rFsin⎜+α⎟=rFcosα矢量和。⎝2⎠=rWtgαcosα=rWsinα这个结果是我们可以预见的。1讨论张力和重力的力矩O点：rrπτ=RWsin=RWw2rr⎛π⎞τT=RTsin⎜+α⎟=RTcosα=RW⎝2⎠τ=RFsin0=0合三、力对点的力矩与对轴的力矩之间的关系§5.2质点角动量定理及角动量守恒定律可以证明：由牛顿第二定律我们看到力是引起质点运动状态发生改变的原因，合外力对应动量的变化。现在考察力矩所引力对轴上一起的变化点的力矩在该轴上的投影即力对轴一、质点对点的角动量的力矩r注意：定义：质点相对于O点位置矢量rrrr定义中L与r有关，与该质点的动量

3、mv的矢积（叉乘）为质点对点的角动量，即：1.故角动量不仅与参照系选择有关且与参考点的选择有关；rrrr2.形象地，角动量大小相当于以r与L=r×mvrmv为邻边所组成的平行四边形面积；2−12（其方向垂直于与决定的平面）3.角动量量纲为[LMT]，单位是kg⋅m/s2二、质点对点的角动量定理及其守恒定律考虑到rrrdrrdrrrd()mv在惯性系中考虑一质量为m动量为mv()r×mv=×mv+r×dtdtdt的质点rr其所受合外力为∑Firr×∑Fr=d()rr×mvr−dr×mvrirdtdtrd()mv由牛顿第二定律∑Fi=dtrr用质点对于点O位置矢量叉乘式两端由速度定义d

4、rr可知drr=v×mv=0rdtdtrrrd()mvr×∑Fi=r×dtrrdrr于是有：r×∑F=()r×mv式两边乘dt并积分有：idttrrr此即质点对点的角动量定理：τdt=L−L∫0t0作用在质点上的合外力对参考点的力矩等于质点对同一点的角动量的时间变化率此为角动量定理的积分形式（也称冲量矩定理）rrdL简写为∑τ=dt作用于质点上的合外力对参考点的冲量矩等于对同一点的角动量的增量。此为角动量定理的微分形式注：1)角动量定理是由牛顿第二定律导出，故适用于惯性系，在非惯性系中要考虑惯性力；2)当合外力对参考点的力矩为零时，角动量为常矢量，我们称角动量守恒；3)力矩、角动量

5、均是与参考点有关的物理量，故在同样情况下，对空间某些点角动量守恒，而对另一些点不守恒。如开普勒定律，选太阳为参考点角动量守恒，选椭圆中心则不守恒（见上面例）4)合外力力矩与角动量不同，而与角动量的时间变化率相联系。3张力力矩重力力矩合力力矩角动量＊有心力力的作用线恒定通过某固定点，即力心固定。在有心力情况下，矢径方向与力方向平行（重合），即对力心力矩为零，会出现很惟妙情况。对方向与速度相方向速度相同守恒（向上）O反r(rr)rrrrR×W+T=0rrR×TR×WR×mv三、质点对轴的角动量定理及其守恒定律r对方向同速度方向同速度方向如图mvArrrrrrrrrrrrr我们考虑动量落

6、在某一平面（o−xy）内情况r×T=0R×W=R×Wr×(W+T)=r×Wr×mvrrdL将τ=向某轴（Ｚ）投影有：dtdLz()τ=5.1.8zdt由于角动量与Ｚ轴平行，有rL=L=rmvsinγ()5.1.11z称之为质点对Ｚ轴的角动量相应的角动量定理为：d()τ=rmvsinγzdt质点对某轴的角动量对时间的变化率等于作用在质点上的合力对该轴的力矩同样当τ=0时有：L=rmvsinγzzrmvsinγ=const.式中的v应为速度在o−xy平面内的分量例1：p165习题5.1.7例2：P154例倘若质点角动量没有落在o−xy平面内，亦即质点角动量与Z轴存在一个夹角，我们可将其

7、在Z轴进行投影，这时对Z轴的角动量为4r§5.3质点系的角动量定理及其守rdLτ=i将质点角动量定理用于第i个质点有：idt恒定律注意到作用在m上的力有来自质点系以外i一.质点系对参考点的角动量定理及其守恒定律其它质点的，也有来自质点系以内其它质点的，即有：设有n个质点组成的质点系，其质量为m1,m2,m3,Lmnrrrτ=τ+τrrrrii内i外v,v,v,Lv速度分别为123nrrrr可以证明成对出现的内力对参考点力矩的矢量和为零相应矢径为r1,r2,r3,Lrn