08三角恒等变换及解三角形 (高三专题复习教案)

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1、第八讲三角恒等变换及解三角形知识结构一、三角恒等变换二、解三角形知识整理一、三角恒等变换1、两角和与差的正弦、余弦、正切公式⑴；⑵；⑶；⑷；⑸（）；⑹（）．例题1已知，求cos。分析：因为既可看成是看作是的倍角，因而可得到下面的两种解法。解法一：由已知sin+sin=1…………①，cos+cos=0…………②，①2＋②2得2+2cos；∴cos。①2－②2得cos2+cos2+2cos（）=－1，即2cos（）〔〕=－1。∴。解法二：由①得…………③由②得…………④-10-我们在1对1个性化学堂决胜高分！④÷③得例题2已知求。分析：由韦达定理

2、可得到进而可以求出的值，再将所求值的三角函数式用tan表示便可知其值。解法一：由韦达定理得tan，所以tan解法二：由韦达定理得tan，所以tan，。1、二倍角的正弦、余弦、正切公式⑴⑵⑶例题1化简下列各式：-10-我们在1对1个性化学堂决胜高分！（1），（2）。分析：（1）若注意到化简式是开平方根和2以及其范围不难找到解题的突破口；（2）由于分子是一个平方差，分母中的角，若注意到这两大特征，，不难得到解题的切入点。解析：（1）因为，又因，所以，原式=。（2）原式==。点评：（1）在二倍角公式中，两个角的倍数关系，不仅限于2是的二倍，要熟悉多

3、种形式的两个角的倍数关系，同时还要注意三个角的内在联系的作用，是常用的三角变换。（2）化简题一定要找准解题的突破口或切入点，其中的降次，消元，切割化弦，异名化同名，异角化同角是常用的化简技巧。（3）公式变形，。例题2若。分析：注意的两变换，就有以下的两种解法。解法一：由，-10-我们在1对1个性化学堂决胜高分！解法二：，点评：此题若将的左边展开成再求cosx，sinx的值，就很繁琐，把，并注意角的变换2·运用二倍角公式，问题就公难为易，化繁为简所以在解答有条件限制的求值问题时，要善于发现所求的三角函数的角与已知条件的角的联系，一般方法是拼角与

4、拆角，如，，等。3、半角公式（后两个不用判断符号，更加好用）4、公式变形与常用角的代换-10-我们在1对1个性化学堂决胜高分！（1）公式变形升幂公式，，降幂公式，Tips：“1”的变形：（2）常用角的代换5、万能公式①②③④⑤例题1求sin220°＋cos250°＋sin20°cos50°的值。解析：原式＝（1－cos40°）＋（1＋cos100°）＋（sin70°－sin30°）＝1＋（cos100°－cos40°）＋sin70°－＝－sin70°sin30°＋sin70°＝－sin70°＋sin70°＝。点评：本题考查三角恒等式和运算能力

5、。例题2已知函数.（Ⅰ）求的定义域；（Ⅱ）设的第四象限的角，且，求的值。解析：（Ⅰ）由得，-10-我们在1对1个性化学堂决胜高分！故在定义域为（Ⅱ）因为，且是第四象限的角,所以a故。∴函数y=cos(x+)cos(x－)+sin2x的值域是[－2,2],最小正周期是π。6、辅助角公式（其中辅助角与点在同一象限，且）例题1已知正实数a,b满足。分析：从方程的观点考虑，如果给等式左边的分子、分母同时除以a，则已知等式可化为关于程，从而可求出由，若注意到等式左边的分子、分母都具有的结构，可考虑引入辅助角求解。解法一：由题设得-10-我们在1对1个性

6、化学堂决胜高分！解法二：因为解法三：原式可变形为：点评：以上解法中，方法一用了集中变量的思想，是一种基本解法；解法二通过模式联想，引入辅助角，技巧性较强，但辅助角公式，，或在历年高考中使用频率是相当高的，应加以关注；解法三利用了换元法，但实质上是综合了解法一和解法二的解法优点，所以解法三最佳。二、正弦定理和余弦定理1、正弦定理及其变形-10-我们在1对1个性化学堂决胜高分！，，Ø两角和任意一边，求其它两边和一角；（唯一解）Ø两边和其中一边对角，求另一边的对角，进而可求其它的边和角（解可能不唯一）1、余弦定理及其变形Ø已知三边，求三个角；（解唯

7、一）Ø已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角（解唯一）Ø两边和其中一边对角，求另一边，进而可求其它的边和角（解可能不唯一）考点一正弦定理的应用例题1(2010年高考山东卷)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若a＝，b＝2，sinB＋cosB＝，则角A的大小为________．(2)满足A＝45°，a＝2，c＝的△ABC的个数为________．考点二余弦定理的应用例题2在△ABC中，内角A，B，C对边的边长分别是a，b，c，已知c＝2，C＝.(1)若△ABC的面积等于，求a，b的值；(2)若sinB＝2sinA，求△AB

8、C的面积．-10-我们在1对1个性化学堂决胜高分！考点三三角形形状的判定判断三角形的形状，应围绕三角形的边角关系进行思考，主要看其是否是正三角形、等腰三角形、直角三