命题逻辑(1.3-1.4)

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1、§1.3命题公式与翻译1、命题公式：由命题变元、联结词和圆括号按一定规则组成的合式公式。[定义]合式公式定义如下：（1）单个命题变元是一个合式公式；（2）如果A是合式公式，则A也是合式公式；（3）如果A和B是合式公式，则AB，AB，A→B，AB均是合式公式；（4）当且仅当能有限次地利用（1）—（3）形成的符号串才是合式公式。§1.3命题公式与翻译例如，(PQ)，P→(PQ)等都是命题公式，而(P→)，(P∨¬)，R→P等不是命题公式。2、命题符号化（翻译）命题逻辑里讨论的对象是命题公式，而日常生

2、活中的推理问题是用自然语言描述的，因此要进行推理演算必须先把自然语言符号化（或形式化）成逻辑语言，即命题公式。然后再根据逻辑演算规律进行推理演算。§1.3命题公式与翻译例将下列命题符号化（1）李明是计算机系的学生，他住在312室。（2）张三和李四是朋友。（3）虽然交通堵塞，但是老王还是准时到达了车站。（4）只有一个角是直角的三角形才是直角三角形。（5）老王或小李中有一个去上海出差。§1.3命题公式与翻译解：（1）首先用字母表示简单命题。P：李明是计算机系的学生。Q：李明住在312室。该命题符号化为：PQ（2）

3、张三和李四是朋友。是一个简单句该命题符号化为：P§1.3命题公式与翻译（3）首先用字母表示简单命题。P：交通堵塞。Q：老王准时到达了车站。该命题符号化为：PQ（4）首先用字母表示简单命题。P：三角形的一个角是直角。Q：三角形是直角三角形。该命题符号化为：PQ（QP）§1.3命题公式与翻译（5）首先用字母表示简单命题。P：老王去上海出差。Q：小李去上海出差。该命题符号化为：P▽Q（▽不可兼或）也可符号化为：（PQ）（PQ）或者（PQ）（PQ）§1.3命题公式与翻译从以上例子中可以看出，

4、所谓命题符号化是指把一个用自然语言叙述的命题相应地写成由命题变元、联结词和圆括号表示的命题公式。符号化应该注意下列事项：确定给定句子是否为命题。句子中连词是否为命题联结词。要正确地表示原子命题和适当选择命题联结词。§1.3命题公式与翻译例：假如上午不下雨，我去看电影，否则就在家里读书或看报。解：设P：上午下雨；Q：我去看电影；R：我在家里读书；S：我在家里看报。本例可表示为：（PQ）▽（P（R∨S））§1.4真值表与等价公式1、命题公式的真值表[定义]1.4.1在命题公式中，对于分量指派真值的各种可能组合

5、，就确定了这个命题的各种真值情况，把它汇列称表，就是命题公式的真值表。§1.4真值表与等价公式2、构造真值表的步骤1)找出给定命题公式中所有的命题变元，列出所有可能的真值。2)按照从低到高顺序写出命题公式的各层次。3)对应每个真值，计算命题公式各层次的值，直到最后计算出整个命题公式的值。§1.4真值表与等价公式例１．构造命题公式¬Ｐ∨Ｑ的真值表PQ¬Ｐ¬Ｐ∨ＱTTFTTFFFFTTTFFTT§1.4真值表与等价公式例2．构造命题公式(PQ）¬Ｐ的真值表PQPQ¬Ｐ(PQ）¬ＰTTTFFTFFFFFTF

6、TFFFFTF§1.4真值表与等价公式例3．构造命题公式¬(PQ）（¬P∨¬Q）的真值表PQPQ¬(PQ）¬P¬Q¬P∨¬Q¬(PQ）（¬P∨¬Q）TTTFFFFTTFFTFTTTFTFTTFTTFFFTTTTT§1.4真值表与等价公式由上例可见，２个命题变元有４组真值指派；３个命题变元有23＝８组真值指派，ｎ个则有个2n个真值指派。§1.4真值表与等价公式３、命题公式的永真式、永假式和可满足式[定义]设公式Ａ中有n个不同的命题变元p1,…pn,(n为正整数)。该变元组的任意一组确定的值（u1,…u

7、n）称为Ａ关于p1,…pn的一个完全指派，其中ui或为Ｔ，或为Ｆ。如果对于Ａ中部分变元赋以确定值，其余变元没有赋以确定的值，则这样的一组值称为公式Ａ的关于该变元组的部分指派。§1.4真值表与等价公式３、命题公式的永真式、永假式和可满足式例设A=(P(Q→R))S，其变元组为(P,Q,R,S)。(P,Q,R,S)=(1,0,1,1)为A的完全指派，(P,Q,R,S)=(0,0,1,S)为A的部分指派。§1.4真值表与等价公式３、命题公式的永真式、永假式和可满足式[定义]对于任一公式A，凡使得A为真的指派，不管

8、是完全指派还是部分指派，都称为A的成真指派，凡使得A为假的指派，也不管是完全指派还是部分指派，都称为A的成假指派。§1.4真值表与等价公式３、命题公式的永真式、永假式和可满足式例设A=(P→(QR))(RS)，则完全指派(P,Q,R,S)=(0,1,0,1)和部分指派(P,Q,R,S)=(0,1,0,S)都是A的成真指派，而指派(P,Q,R,S)=(1,0,1,0)为A的成假指