基於GHMM之IRT混合模式及其估計

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1、基於GHMM之IRT混合模式及其估計測驗統計年刊第十三輯基於GHMM之IRT混合模式及其估計劉湘川台中健康暨管理學院生物資訊所暨心理系摘要常用之三參數洛基IRT模式未考慮迷失資料之問題，本文提出基於廣義馬可夫模式可兼顧未答資料之IRT混合模式，並提出「基於GHMM之兩階段最大概似估計法」可有效估計該新模式之受試能力、試題難度、鑑別度、猜測度及未答參數。關鍵字：「廣義隱藏式馬可夫模型；GHMM」、「試題反應理論；IRT」、「基於GHMM之兩階段最大概似估計法」120基於GHMM之IRT混合模式及其估計測驗統計年刊第十三輯第一節前言測驗常會發生受試者遺

2、漏作答或未予作答情況，常用之三參數洛基IRT模式未考慮迷失資料之問題，基於廣義馬可夫模式可兼顧未答資料並具有計算之有效性，而IRT模式可反應個別受試者潛在能力，本文兼採兩種模式之優點，特提出基於GHMM之IRT混合模式，將各試題之作答反應分離為，「認知作答」、「猜測作答」及「遺漏作答」三種狀態，其中認知作答狀態為反應試題鑑別度與難度之二參數IRT模式，猜測參數與未答參數分別列入「猜測作答」及「遺漏作答」二狀態中。並提出「基於GHMM之兩階段最大概似估計法」可有效估計該新模式之有關參數。第一節列舉GHMM在測驗分析上應用之例，第二節簡介「基於GHMM

3、之IRT混合模式」，第三節定出「IRT混合模式之概似函數」，第四節提出「IRT混合模式之MLE估計法」，第五節簡介「IRT混合模式之GHMM估計法」，第六節提出「基於GHMM之IRT混合模式之兩階段最大概似估計法」，最後一節為結語。第二節GHMM之測驗分析應用之例壹、不隨時間變動狀態機率GHMM模式之測驗分析應用之例【例1】3作答狀態5符號、不隨時間變動狀態機率、GHMM之測驗分析應用例未AD~00.05AD~00.05AD~0−−答1−110.10.10.850.8510.05猜A0.25AA0.250.250.050.05測BB0.250.25

4、B0.25作C0.25C0.25C0.250.10.10.11S答D0.25D0.25D0.25T−−−0000.850.850.850.050.05AA0.30.21認A0.4BB0.20.4知B0.30.1C0.40.1C0.3作C0.2D0.10.85D0.10.85D0.1答−−−000−TSABs=2s=1s=31225圖1、3作答策略5選項符號、不隨時間變動狀態機率、測驗分析示意圖121基於GHMM之IRT混合模式及其估計測驗統計年刊第十三輯貳、隨時間變動狀態機率GHMM模式之測驗分析應用之例【例2】選擇題、3作答狀態5符號、變動狀態機

5、率、變動符號機率GHMM之測驗分析應用之例未A~D00.050.1A~D0A~D0答−1−−110.10.10.850.8510.05猜A0.25A0.25A0.250.050.1測B0.25B0.25B0.25作C0.25C0.25C0.250.10.10.11ST答D0.25D0.25D0.25−−−0000.80.850.850.050.1A0.3A0.21認A0.4知B0.3B0.2B0.40.10.1C0.4C0.3作C0.2D0.10.85D0.10.8D0.1答−−−000−TSABs1=2s2=1s25=3圖2、3作答策略5選項符號

6、、變動狀態機率、測驗分析示意圖【例3】25選擇題、3作答狀態3符號、不隨時間變動狀態機率、變動符號機率GHMM之測驗分析應用之例未1:01:0π31:0答0:0π30:00:0π×:1×:12×:1π1π2π11π3猜ππ測331:c1:c1:c1225π作π2π2120:1−c0:1−c0:1−cS答1225T×:0π×:0×:01ππ111:P1(θ)π31:P2(θ)1:P25(θ)1認0:1−P1()θπ3知×:0π20:1−P2()θπ20:1−P25()θ作×:0×:0答ππ11S1×0Ts1=2s2=3s25=1圖3、25選擇題3作答

7、策略3作答符號、不隨時間變動狀態機率、測驗分析示意圖122基於GHMM之IRT混合模式及其估計測驗統計年刊第十三輯其中ππ12,,π3,catt∈+(0,1),π1π2+π3=1,>0,bt∈R1Pt()θ=,t=1,2,...,251e+−xp⎡⎤⎣⎦abtt()θ−【例4】25選擇題、3作答狀態3符號、變動狀態機率、變動符號機率GHMM之測驗分析應用之例124ππ未1:031:031:0答0:010:0240:0ππ×:112×:1π242×:1π1101π3猜π1測3π241:c11:c23241:c250作π1ππ20:1−c20:1−c2

8、0:1−c1S答1225T24×:0π1×:0π×:0110π1241:P1(θ)1ππ31:P2(θ)31:P25(θ)