边肇祺模式识别课后答案

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1、模式识别（习题解答）目录目录第一章绪论.................................................................1第二章贝叶斯决策理论.....................................................2第三章概率密度函数的估计................................................10第四章线性判别函数.......................................................13–II–第一章绪论第一章绪论略–

2、1–第二章贝叶斯决策理论第二章贝叶斯决策理论²2.1如果只知道各类的先验概率，最小错误率贝叶斯决策规则应如何表示？解解解：：：设一个有C类，每一类的先验概率为P(wi)，i=1;:::;C。此时最小错¤误率贝叶斯决策规则为：如果i=maxP(wi)，则x2wi。i²2.2利用概率论中的乘法定理和全概率公式证明贝叶斯公式（教材中下面的公式有错误）p(xjwi)P(wi)P(wijx)=:p(x)证证证明明明：：：P(wi;x)P(wijx)=p(x)p(xjwi)P(wi)=p(x)²2.3证明：在两类情况下P(wijx)+P(w2jx)=1。证证证明明明：：：P(w1;x)P(w

3、2;x)P(w1jx)+P(w2jx)=+p(x)p(x)P(w1;x)+P(w2;x)=p(x)p(x)=p(x)=1²2.4分别写出在以下两种情况1.P(xjw1)=P(xjw2)2.P(w1)=P(w2)下的最小错误率贝叶斯决策规则。解解解：：：当P(xjw1)=P(xjw2)时，如果P(w1)>P(w2)，则x2w1，否则x2w2。–2–第二章贝叶斯决策理论当P(w1)=P(w2)时，如果P(xjw1)>P(xjw2)，则x2w1，否则x2w2。²2.51.对c类情况推广最小错误率率贝叶斯决策规则；2.指出此时使错误率最小等价于后验概率最大，即P(wijx)>P(wjjx

4、)对一切j6=i成立时，x2wi。解解解：：：对于c类情况，最小错误率贝叶斯决策规则为：如果P(wijx)=maxP(wjjx)，则x2wi。利用贝叶斯定理可以将其写成j=1;:::;c先验概率和类条件概率相联系的形式，即如果p(xjwi)P(wi)=maxp(xjwj)P(wj)，则x2wi。j=1;:::;c²2.6对两类问题，证明最小风险贝叶斯决策规则可表示为，若p(xjw1)(¸12¡¸22)P(w2)>;p(xjw2)(¸21¡¸11)P(w1)则x2w1，反之则属于w2。解解解：：：计算条件风险X2R(®1jx)=¸1jP(wjjx)j=1=¸11P(w1jx)+¸1

5、2P(w2jx)X2R(®2jx)=¸2jP(wjjx)j=1=¸21P(w1jx)+¸22P(w2jx)如果R(®1jx)(¸12¡¸22)P(w2jx)(¸21¡¸11)P(w1)p(xjw1)>(¸12¡¸22)P(w2)p(xjw2)p(xjw1)(¸12¡¸22)P(w2)>p(xjw2)(¸21¡¸11)P(w1)–3–第二章贝叶斯决策理论p(xjw1)(¸12¡¸22)P(w2)所以，如果>，则x2w1。反之则x2w2

6、。p(xjw2)(¸21¡¸11)P(w1)²2.7若¸11=¸22=0;¸12=¸21，证明此时最小最大决策面是来自两类的错误率相等。解解解：：：最小最大决策时满足ZZ(¸11¡¸22)+(¸21¡¸11)p(xjw1)dx¡(¸12¡¸22)p(xjw2)dx=0R2R1容易得到ZZp(xjw2)dx=p(xjw1)dxR1R2所以此时最小最大决策面使得P1(e)=P2(e)²2.8对于同一个决策规则判别函数可定义成不同形式，从而有不同的决策面方程，指出决策区域是不变的。解解解：：：对于同一决策规则（如最小错误率贝叶斯决策规则），它¤的判别函数可以是j=maxP(wjjx)，

7、则x2wj¤。另外一种形式j=1;:::;c¤为j=maxp(xjwj)P(wj)，则x2wj¤。考虑两类问题的分类决策面j=1;:::;c为：P(w1jx)=P(w2jx)，与p(xjw1)P(w1)=p(xjw2)P(w2)是相同的。²2.9写出两类和多类情况下最小风险贝叶斯决策判别函数和决策面方程。p(xjw1)²2.10随机变量l(x)定义为l(x)=，l(x)又称为似然比，试证明p(xjw2)–(1)Efln(x)jwg=Efln+1(x)jwg12–(2)Efl(x)