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1、第五章散乱数据的可视化散乱数据指的是在二维平面上或三维空间中,无规则的、随机分布的数据。散乱数据的可视化是对散乱数据进行插值或拟合,形成曲线或曲面并用图形或图象表示出来的技术。散乱数据主要来源于3个方面:一是物理量的测量数据;二是科学实验所得数据;三是科学计算或工程计算的结果数据散乱数据的可视化有着广泛的应用领域。例如,地质勘探数据、测井数据、油藏数据、气象数据以及有限元计算结果中非结构化数据的显示等散乱数据的分类按其复杂程度可分为单自变量、双自变量及多自变量。其可视化的方法又可以分为散乱数据的插值及拟合。设在二维平面上有个点，并有，插值问题就是要构造一个具有连续的函数,使其在点的
2、函数值为，即。本章将主要讨论双自变量散乱数据的插值问题，首先介绍几种双自变量散乱数据的插值方法。然后再讨论大规模散乱数据的插值问题。5.1中、小规模散乱数据的插值5.1.1与距离成反比的加权法这一方法首先是由气象学及地质学工作者提出来的,后来由于D.Shepard的工作被称为Shepard方法。其基本思想是将插值函数F(x,y)定义为各数据点函数值fk的加权平均,即式中表示由(x,y)点到(xk,yk)点的距离。值一般取为2。还可将(5.1)式重写为式中这是一种与距离成反比的加权方法，点的值对的影响与至的距离成反比。（5.3）式中的权函数有如下性质：（1），非负值。（2），是连续
3、的。（3），当时，否则。（4），具有加权性质。图5.2图5.3图5.412345222221015232020202020假设点处的值为，如果对（5.1）式求导，则有如下结论 1）如果，则处不存在一阶偏导数。即在该点处形成角点或尖点。 2）如果，则处的一阶偏导数为零。即在该点处的切平面平行于平面，形成了“平台”效应。 图5.1给出了在单自变量时不同值得插值结果。图5.2-图5.4则给出了双自变量时不同值的插值结果。各个图中的值如表5.1所示。从以上讨论可以看出,Shepard方法的插值结果只能是C0连续。而且,当增加、删除或改变一个点时,权函数Wk(x,y)均需重新计算,
4、因而该方法是一个全局插值算法。为了克服Shepard方法的上述缺陷,Franke及Nielson提出了MQS(ModifiedQuadraticShepard，改进的二次方程式Shepard)方法,它仍然是一个与距离成反比的加权方法。它的改进主要在以下两个方面:第1,将(5.1)式中的权函数dk作适当修改,使其只能在局部范围内起作用,以改变Shepard方法的全局插值性质。这时的权函数定义为式中,rw为一个常数。而因此，当点与某一点的距离大于rw时，权值就为零。第2，用节点函数代替(5.1)式中的,是一个插值于点的二次多项式，即有。而且在点附近与函数值具有局部近似的性质。因此，如果
5、认为距离较远的点对影响不大，则可以认为在点附近，就可近似地表示了。根据上述性质，可由下式表示：式中是按最小二乘法由下式得出的优化解：式中,，分别为及点的函数值，而可按下式选取其中rq为一常数，而这说明，在（5.4）中，当时，点的值就不起作用了。于是只与相邻点的值有关，因而是函数值得局部近似。在求出后，插值函数可表示为由于MQS方法消除了Shepard方法中的一些缺陷，因而在散乱点插值中得到广泛的应用。但是，为了求得，需要多次求解线性方程组，计算量大，因此，一般只用于中、小规模散乱点的插值运算。5.1.2径向基函数插值法径向基函数的来源：即基函数是由单个变量的函数构成的。一个点(x,
6、y)的这种基函数的形式往往是hk(x,y)=h(dk)，这里的dk表示由点(x,y)至第k个数据点的距离。一般来说，这种方法不具有多项式精度，但只要稍加改进，即可获得具有多项式精度的插值公式式中，qk(x,y)是一个多项式基，其阶次小于m。上式中的系数ak,bk应满足下面的联立方程组（5.8）式中的n个方程式满足了插值要求，而（5.9）式中的m个方程式则保证了多项式精度。二式中共有m+n个未知数，同时存在m+n个方程式，联立求解，即可得出待定系数。下面介绍两种主要的径向基函数插值法。1.Multiquadric(MQ)方法Multiquadric方法是由R.L.Hardy在1971
7、年提出来的。它是最早提出并且应用最为成功的一种径向基函数插值法。它采用的插值函数为以单自变量简单情况为例，如图5.5所示，设对应于x=xi的点，有值f(xi)。那么这种单自变量情况下的插值函数为从理论上说，n可以与给定点的数目不等，ai也可以有任意值，但为了求解方便，令n等于给定点的数目，Xj则等于各给定点的x坐标值。此时，如将各Xi点的值fi带入上式，则可得一组联立方程求解此组联立方程，即可得出aj。图5.5中表示的是n=6时的结果。图中，不仅表示出F(x)，而且用
