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2、为没有负向量；⑶不是，因为存在两向量的和向量处在第二或第四象限，即加法不封闭；⑷是；⑸不是，因为存在二个不平行某向量的和却平行于某向量，即加法不封闭.3.解：⑴不是，因为当k∈Q或R时，数乘kα不封闭；⑵有理域上是；实数域上不是，因为当k∈R时，数乘kα不封闭.⑶是；⑷是；⑸是；⑹不是，因为加法与数乘均不封闭.4.解：是，因为全部解即为通解集合，它由基础解系列向量乘以相应常数组成，显然对解的加法与数乘运算满足二个封闭性和八条公理.5.解：（1）是线性空间；（2）不是线性空间（加法不封闭；或因无零向量）.6.解：（1）设A的实系数多项式f(A)的全体为{f(A)=aI+aA+LaA
3、a∈R,m正整数}01mmi1显然，它满足两个封闭性和八条公理，故是线性空间.（2）与（3）也都是线性空间.7.解：是线性空间.不难验证sint，sin2t，…，sinnt是线性无关的，且任一个形如题中的三角多项式都可由它们惟一地线性表示，所以它们是V中的一个组基.由高等数学中傅里叶（Fourier）系数知12πc=tsinitdt.i∫π08.解：⑴不是，因为公理2'不成立：设r=1,s=2,α=(3,4),)则(r+s)o(3,4)=(9,4),而ro(3,4)⊕so(3,4)=(3,4)⊕(6,4)=(9,8),所以(r+s)oα≠roα⊕soα.⑵不是，因为公理1）不成立
4、：设α=(1,2),β=(3,4),则α⊕β=(1,2)⊕(3,4)=(1,2),β⊕α=(3,4)⊕(1,2)=(3,4),所以α⊕β≠β⊕α.⑶不是，因为公理2'不成立：设r=1,s=2,α=(3,4),)则(r+s)oα=3o(3,4)=(27,36)而roα⊕soα=1o(3,4)⊕2o(3,4)=(3,4)⊕(12,16)=(15,20),于是(r+s)oα≠roα⊕soα.⑷是.9.证若α,β∈V，则2(α+β)=2α+2β=(1+1)α+(1+1)β=(1α+1α)+(1β+1β)=(α+α)+(β+β)=α+(α+β)+β22(α+β)=(1+1)(α+β)=(1
5、α+1β)+1(α+β)另一方面，=(α+β)+(α+β)=α+(β+α)+β因此α+(α+β)+β=α+(β+α)+β，从而有(−α)+α+(α+β)+β+(−β)=(−α)+α+(β+α)+β+(−β)于是得α+β=β+α.10.解：先求齐次方程组的基础解系ξ=(3,3,2,0)T,ξ=(-3,7,0,4)T,12即为解空间V的一组基.所以，dimV=2.2211.解：考察齐次式k(x+x)+k(x−x)+k(x+1)=01232即(k+k)x+(k−k+k)x+k=0,121233得线性方程组k+k=012k−k+k=0123k=03由于系数行列式不等于零，那么只有k=k=
6、k=0时,上述齐次式123才对∀x成立，所以2,2,线性无关，且任二次多项式x+xx−xx+12都可惟一地用它们来表示(因为相应的非齐次方程组有惟一ax+bx+c解)，故为基.22令2x+7x+3=(k+k)x+(k−k+k)x+k121233得k=3,k=−1,k=3,即坐标为(3,-1,3).123312.解：⑴因为(β,β,β,β)=(α,α,α,α)C,12341234−1故C=(α,α,α,α)(β,β,β,β)123412341000−120562056010013361336==.0010−1121−1121000110131013T⑵显然，向量α在基α1,α2,α
7、3,α4下的坐标为X=(ξ1,ξ2,ξ3,ξ4),T设α在基β1,β2,β3,β4下的坐标为Y=(η1,η2,η3,η4),则ξ2056−1ξ11ξ1336ξ−122Y=C=ξ−1121ξ33ξ1013ξ444111−1−939ξ141231−−ξ2793272==BX12ξ00−333ξ471126−−279327⑶如果X=Y,则有X=BX,即得齐次方程组(I-B)X=0,求其非零解为TX=k(－1,－1,－1,1),k∈R,即为所求.13.解：(1)对k=1,2,L,n；l=
