连续时间傅里叶变换

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1、第二章连续时间傅里叶变换1周期信号的频谱分析——傅里叶级数FS(1)狄义赫利条件：在同一个周期内，间断点的个数有限；极大值和极小值的数目有限；信号绝对可积。(2)傅里叶级数：正交函数线性组合。正交函数集可以是三角函数集或复指数函数集，函数周期为T1，角频率为。(3)任何满足狄义赫利条件周期函数都可展成傅里叶级数。(4)三角形式的FS：(i)展开式：(ii)系数计算公式：(a)直流分量：(b)n次谐波余弦分量：(c)n次谐波的正弦分量：(iii)系数和统称为三角形式的傅里叶级数系数，简称傅里叶系数。(iv)称为

2、信号的基波、基频；为信号的n次谐波。(v)合并同频率的正余弦项得：(a)(b)和分别对应合并后n次谐波的余弦项和正弦项的初相位。(vi)傅里叶系数之间的关系：(a)(b)(c)(d)(e)(f)(g)(5)复指数形式的FS：(i)展开式：(ii)系数计算：(i)系数之间的关系：(ii)关于n是共扼对称的，即它们关于原点互为共轭。(iii)正负n(n非零)处的的幅度和等于或的幅度。(1)奇偶信号的FS：(i)偶信号的FS：；；(实，偶对称)；；(ii)偶的周期信号的FS系数只有直流项和余弦项。(iii)奇信号的

3、FS：；；；(纯虚，奇对称)；；(iv)奇的周期信号的FS系数只有正弦项。(2)周期信号的傅里叶频谱：(i)称为信号的傅里叶复数频谱，简称傅里叶级数谱或FS谱。(ii)称为信号的傅里叶复数幅度频谱，简称FS幅度谱。(iii)称为傅里叶复数相位频谱，简称FS相位谱。(iv)周期信号的FS频谱仅在一些离散点角频率(或频率)上有值。(v)FS也被称为傅里叶离散谱，离散间隔为。(vi)FS谱、FS幅度谱和相位谱图中表示相应频谱、频谱幅度和频谱相位的离散线段被称为谱线、幅度谱线和相位谱线，分别表示FS频谱的值、幅度和相

4、位(vii)连接谱线顶点的虚曲线称为包络线，反映了各谐波处FS频谱、幅度谱和相位谱随分量的变化情况。(viii)称为单边谱，表示了信号在谐波处的实际分量大小。(ix)称为双边谱，其负频率项在实际中是不存在的。正负频率的频谱幅度相加，才是实际幅度。(3)周期矩形脉冲序列的FS谱的特点：(i)谱线包络线为Sa函数；(ii)谱线包络线过零点：(其中为谱线间隔)：，或，即当时，。(iii)在频域，能量集中在第一个过零点之内。(ii)带宽或只与矩形脉冲的脉宽有关，而与脉高和周期均无关。(定义为周期矩形脉冲信号的频带宽度

5、，简称带宽)(9)周期信号的功率：(10)帕斯瓦尔方程：2非周期信号的频谱分析—傅里叶变换(FT)(1)信号f(t)的傅里叶变换：是信号的频谱密度函数或FT频谱，简称为频谱(函数)。(2)频谱密度函数的逆傅里叶变换为：(3)称为FT的变换核函数，为IFT的变换核函数。(4)FT与IFT具有唯一性。如果两个函数的FT或IFT相等，则这两个函数必然相等。(5)FT具有可逆性。如果，则必有；反之亦然。(6)信号的傅里叶变换一般为复值函数，可写成(i)称为幅度频谱密度函数，简称幅度谱，表示信号的幅度密度随频率变化的幅

6、频特性；(ii)称为相位频谱密度函数，简称相位谱函数，表示信号的相位随频率变化的相频特性。(7)FT频谱可分解为实部和虚部：(8)FT存在的充分条件：时域信号绝对可积，即。注意：这不必要条件。有一些并非绝对可积的信号也有FT。(1)FT及IFT在赫兹域的定义：；(2)比较FS和FT：FSFT分析对象周期信号非周期信号频率定义域离散频率，谐波频率处连续频率，整个频率轴函数值意义频率分量的数值频率分量的密度值3典型非周期信号的FT频谱(1)单边指数信号：幅度谱：相位谱：单边指数信号及其幅度谱、相位谱如图1所示。图

7、1(a)单边指数信号(b)幅度谱(c)相位谱(2)偶双边指数信号：，为实偶函数。幅度谱：相位谱：偶双边指数信号及其频谱如图2所示。图2(a)偶双边指数信号(b)频谱(3)矩形脉冲信号：(脉宽为t、脉高为E)，为实函数。幅度谱：相位谱：矩形脉冲信号及其频谱如图3所示。图3(a)矩形脉冲信号(b)频谱矩形脉冲FT的特点：(i)FT为Sa函数，原点处函数值等于矩形脉冲的面积；(ii)FT的过零点位置为；(iii)频域的能量集中在第一个过零点区间之内(iv)带宽为或，只与脉宽有关，与脉高E无关。信号等效脉宽：信号等效

8、带宽：图4(a)信号的等效脉宽(b)等效带宽(4)符号函数：不满足绝对可积条件，但存在FT。幅度谱：相位谱：符号函数及其频谱如图5所示。图5(a)符号函数(b)频谱(5)冲激信号：均匀谱/白色谱：频谱在任何频率处的密度都是均匀的。强度为E的冲激函数的频谱是均匀谱，密度就是冲激的强度。单位冲激信号及直流信号的频谱函数总结：FT定义èFT可逆性èçFT可逆性çIFT定义(6)阶跃信号：不满足绝对可积条件