Boltzmann方程的粘性分析

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1、南京理工大学博士学位论文Boltzmann方程的粘性分析姓名：郑敏玲申请学位级别：博士专业：系统工程指导教师：杨孝平20071101中文摘要摘要Boltzmarm方程是非平衡态统计物理学中最重要的模型之一．从数学上来说，Boltz—mann方程是一个积分微分方程．方程的右端项一碰撞算子，在实际中(考虑三维空间)是一个五重积分．同时，碰撞算子只是对速度变量钞作用，关于t，z是局部的，这就给方程带来了某种程度上的退化．所以，不管从数值计算方面，还是从偏微分方程理论方面，Boltzmann方程的研究都是当前数学所面临的巨大挑战之一．对于均匀气体的空间齐次Bol

2、tzmann方程来说，迄今已有了相对深入的研究和了解．当然，这只是对刚势作用而言，有关软势的研究仍然比较少．不管怎样，对于空间非齐次Boltzmann方程，所得到的结果却还是相当缺乏的．关于完全Boltzmann方程的一个至今较满意的结果，就是二十多年前由DiPema和Lions建立起来的重正规化理论．然而，重正规化解的唯一陛与可微性质，仍然是一个开问题．二十多年来，人们对它做了不少的工作，对碰撞算子的性质也有了更深入的了解．然而，要解决这个开问题，也许需要新的工具和理论的出现．关于Boltzmann方程解对初始值的稳定性分析，已经有了不少的结果[4，5

3、8，100]．本文将从粘性分析的角度对Boltzmann方程进行了稳定性研究，据我们所知，这还是一个崭新的领域。这里的粘性方程是通过增加关于速度u的Laplacian项￡△”得到的，这一项也称为Fokker-Plank项．从物理意义上来说，这是由于分子的扩散引起的．有趣的是，也许可以考虑关于z的Laplacian项进行粘性近似．但是，关于它的物理意义至今不清楚．本文得到的主要结果有二：一是对于角截断空间齐次情形，包括Maxwell分子势、刚势碰撞，本文给出了粘性近似解与原方程的解之间的一个精确的近似估计．需要说明的是，这些估计是依赖于时间的，这与粘性方程

4、中粘性项的扩散效果有关；二是对于空间非齐次Boltzmann方程的情形，本文在重正规化框架下研究了粘性近似解的渐近行为，得到了：当粘性系数趋于0时，粘性近似重正规化解在三1中收敛于非齐次Boltzmann方程的一个具有“亏损测度”的重正规化解．本文第一章介绍了有关Boltzmann方程的一些基本知识，包括一些基本概念、Boltzmann的H_定理、基本的先验估计、碰撞算子的性质．第二章介绍了关于Boltzmann方程的一些重要的结果，包括空间齐次Boltzmann方程解的存在唯一性、矩的估计、解的正则性与奇异性的传输、趋向．于平衡态的问题，以及非齐次Bo

5、ltzmann方程的重正规化理论和传输方程的速度平均理论．值得一提的是，有关Boltzmann方程的结果很多，这里主要是关于Cauchy问题的一些重要的结果，特别是关于具有角截断刚势的情形．其它的结果可以参见后面的参考文献．第三章主要研究了具有角截断Maxwell分子的粘性近似．利用基本解的表示，研究了粘性解(我们称之为温和解)的存在唯一性，并在Co意义下得到了粘性近似的精中文摘要确估计．第四章研究了刚势且具有角截断的空间齐次Boltzmann方程的粘性近似．利用Schauder不动点定理，证明了粘性弱解的存在隆，并利用GronwaU不等式得到了解的唯一

6、性．最后，在L：，L2意义下得到了粘性近似的精确估计．第五章主要研究了空间非齐次Boltzmann方程的粘性近似。首先，利用弱紧性分析，研究了粘性重正规化解的一致估计，并得到了在重正规化框架下粘性近似解的渐近行为．本文所用的主要工具，包括插值不等式、Q+的Mouhot．Villani分解以及速度平均引理．关键词粘性近似；粘性方程；空间齐次Boltzmann方程；空间非齐次Boltzmann方程；重正规化解；亏损测度；碰撞核；广义Radon变换；熵；熵耗散；守恒律；碰撞不变量英文摘要AbstractBoltzmannequationisoneofthemo

7、stimportantmodelsforthenon·-equilibriumstaffs·-ilealphysics．Frommathematicalviewpoint，Boltzmannequationisallintegro—differentialequation．ThefighthandtermofBoltzmannequation，whichiscalledalsocollisionopera-tor,hasfivemulti-integral．Inthemeantime，thecollisionoperatoronlyactsontheve

8、locityvariableu，andislocalint，z．Thisgive