紧致秩1对称空间上一类极小子流形的数量曲率

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1、复旦大学硕士学位论文紧致秩1对称空间上一类极小子流形的数量曲率姓名：刘张杰申请学位级别：硕士专业：基础数学指导教师：忻元龙20070518中文摘要摘要利用Simons公式，得到了复射影空间一卜的紧致极小余迷向子流形和四元射影空间上的紧致极小四元余迷向子流形的刚性定理，推广了H．B．Lawson的结果；用类似的方法，还得到了Cayley射影平面上紧致极小超曲面的刚性定理。关键词：秩1对称空间，极小子流形，余迷向，数量曲率，刚性中图法分类号：0186．12英文摘要AbstractInthispaper,wegivesomerigiditytheoremswhichconcelTiwithcompa

2、ctminimalcoisotropicsubmaaifoldsinCP．compactminimalquaternioniccoisotropicsubmanifoldsinQPandcompactminimalhypersurfacesinp(C嘞．KeyWords：Ranklsymmctdcspace,minimalsubmanifold，coisotropic，scalarcurvature，rigidityChineseLibraryClassificationnumber：0186．12-Ⅲ-论文独创性声明本论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究成果。论文中除了特别加以

3、标注和致谢的地方外，不包含其他人或其它机构已经发表或撰写过的研究成果。其他同志对本研究的启发和所做的贡献均已在论文中作了明确的声明并表示了谢意。作者签名：趟盘查日期论文使用授权声明】叼，6．6本人完全了解复旦大学有关保留、使用学位论文的规定，即：学校有权保留送交论文的复印件，允许论文被查阅和借阅；学校可以公布论文的全部或部分内容，可以采用影印、缩印或其它复制手段保存论文。保密的论文在解密后遵守此规定。作者签名：圭』壅查导师签名日期：望王!：i：引言己I吉’，1日1968年，J．Simons计算了极小了流形的第二基本形式的Laplace的一般公式，运用Bochner技巧给出了球面上极小子流形的刚

4、性定理川：令M为等距浸入到栉印维单位球面S”p的n维紧致极小子流形，若M上每一点处均有第二基本形式长度的平方IIBll2≤7l／(2—9则1)JIf为全测地子流形或2)㈣12=n／(2—0接着，s．S．Chem，M．DoCarmo和S．Kobayashi‘21得到了．卜．述定理中的等号成立条件：M为Clifford超曲面或s4中的Veronese曲面。1993年，李安民和李济民p1证明了一个代数引理，将P≥2时的条件改进为IIBll2≤；7l。另一方面，1970年，H．B．Lawsonl41通过对复射影空间与四元射影空间的性质的研究，得到了这两个空间．I：超曲面的刚性定理：定理1令M为等距浸入

5、到知维复射影空间CPn的紧致极小超曲面，若M上每一点处均满足以下两个等价的条件：a)p≥(m+2)(m一1)b)lIBIl2≤m一1则p=(m+2)(m一1)，II引12=m一1其中，P是肘的数量曲率，m=2n一1是M的维数。定理2令M为等距浸入到和维叫元射影空闻QP”的紧致极小超曲面，若M上每一点处均满足以下两个等价的条件：c1P≥m2+7m一6d)¨口¨2≤m一3则P=m2+7m一6，IIBIl2=m一3并且给出了相应的等号成立条件。在这篇论文中Lawson没有直接运用Simons的公式。此后，关于球面上的极小子流形，还有复射影空间、四元射影空间上一些特殊的子流形，如全实极小子流彤、复子流

6、形等，大量的刚性定理得到了证明。Yong-Guenoh在辛几何的研究中引入了余迷向子流形的概念c51，他们是复引言流形中实超曲面的一种高余维数推广。本文首先研究c即上紧致极小余迷向子流形，将Lawson关于极小超曲而的刚性定理推广到高余维数极小余迷向子流形的情形：定理A设M是CP“一卜的一个辨维紧致极小余迷向子流形，余维数P=2n—m且满足m>P。当p=1时，若lIBIl2sm一1或等价地，P≥(m+2)(m一1)则IIBIl2=m一1，P=(m+2)(m一1)。当P≥2时，M上存在一点x，在该点IIBIl2≥；((m一4p+1)+、厂丽再忑歹了可F面，或等价地，p≤；((3m2+5m--5p

7、一1)-d—(m+zp+—Dz-a2p)。然后，仿照c砂上的情形，我们定义qP“上的四元余迷向子流形，得到定理B；定理B设M是口P“上的一个m维紧致极小四元余迷向子流形，余维数P=4n—rn。当P=1时，若IlUll2≤m一3或等价地，P≥m2+7m一6则l

8、8112=m一3，P=m2+7m一6。当P≥2时，掰上存在一点聋，在该点118112≥=1((m一4p一5)+√(m一4p—s)2+36p(