2012年高考试题理科数学(广东卷)试题+答案

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1、绝密★启用前试卷类型：A2012年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）数学（理科）参考公式：柱体的体积公式，其中为柱体的底面积，为柱体的高．锥体的体积公式，其中为锥体的底面积，为锥体的高．一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.设为虚数单位，则复数（）A.B.C.D.2.设集合，，则（）A.B.C.D.3.若向量，，则（）A.B.C.D.4.下列函数中，在区间上为增函数的是（）A.B.C.D.5.已知变量，满足约束条件，则的最大值为（）A.B.C.D.图1正视图俯视图侧视图556555656.某几何体的三视图如图1所示，它的

2、体积为（）A.B.C.D.7.从个位数与十位数之和为奇数的两位数中任取一个，其个位数为0的概率是（）A.B.C.D.8.对任意两个非零的平面向量和，定义.若平面向量，满足，与的夹角，且和都在集合中，则（）A.B.1C.D.二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分．是图2输出结束否输入开始（一）必做题（9~13题）9.不等式的解集为.10.的展开式中的系数为.（用数字作答）11.已知递增的等差数列满足，，则.12.曲线在点处的切线方程为.13.执行如图2所示的程序框图，若输入的值为8，则输出的值为.（二）选做题（14~15题，考生只能从中选做一题）14.（坐标系与参数方

3、程选做题）在平面直角坐标系中，曲线和的参数方程分别为图3（为参数）和（为参数），则曲线与的交点坐标为_______.15.（几何证明选讲选做题）如图3，圆的半径为1，、、是圆周上的三点，满足，过点作圆的切线与的延长线交于点，则.三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．16.（本小题满分12分）已知函数（其中，）的最小正周期为.（1）求的值；（2）设，，，求的值.17.（本小题满分13分）图404050　60708090100成绩某班50位学生期中考试数学成绩的频率分布直方图如图4所示，其中成绩分组区间是：，，，，，.（1）求图中的值；（2）从成绩不低于8

4、0分的学生中随机选取2人，该2人中成绩在90分以上（含90分）的人数记为，求的数学期望.18.（本小题满分13分）如图5所示，在四棱锥中，底面为矩形，平面，点在线段上，平面.图5（1）证明：平面；（2）若，，求二面角的正切值.19.（本小题满分14分）设数列的前项和为，满足，，且，，成等差数列.（1）求的值；（2）求数列的通项公式；（3）证明：对一切正整数，有.20.（本小题满分14分）在平面直角坐标系中，已知椭圆：（）的离心率，且椭圆上的点到点的距离的最大值为3.（1）求椭圆的方程；（2）在椭圆上，是否存在点，使得直线：与圆：相交于不同的两点、，且△的面积最大？若存在，求出点的坐标及对应的△

5、的面积；若不存在，请说明理由.21.（本小题满分14分）设，集合，，.（1）求集合（用区间表示）（2）求函数在内的极值点.2012年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）数学（理科）参考答案一、选择题1.D..2.C..3.A..4.A.函数与在上为减函数，函数在上为减函数.5.B.不等式组表示的平面区域为如图所示的阴影部分，可化为直线，则当该直线过点时，取得最大值，.6.C.该几何体是圆锥和圆柱的组合体，则它的体积.7.D.个位数与十位数之和为奇数的两位数共有45个，其中个位数为0的有5个，则其个位数为0的概率是.8.C.，同理有和都在集合中，即，，方法一：取，则，，因为，所以，所以只能取，

6、，则.方法二：设，，因为，所以，所以或或或因为，所以，即（以下解法同方法一）二、填空题9..方法一（绝对值的几何意义）：表示数轴上的点到和两点的距离之差，当时，，所以不等式的解集为方法二（分类讨论的思想）：（1）（2）（3）综上所述，不等式的解集为10..，令，得则的展开式中的系数为.11..设等差数列的公差为，则由得，解得则12.，则切线斜率，则切线方程为，即13.8第一步：，，第二步：，，第三步：，，，输出14..曲线的方程为（），曲线的方程为或（舍去），则曲线与的交点坐标为.15.连结，则且，由，得三、解答题16.解：（1），解得（2），即，即因为，所以，所以17.解：（1）依题意得，，

7、解得（2）数学成绩在的人数为：数学成绩在的人数为：可能的取值为0，1，2的分布列为012的数学期望18.解：（1）证明：因为平面，平面所以因为平面，平面所以因为所以平面（2）方法一：设，连结因为平面，平面所以，所以是二面角所成的平面角因为平面，平面所以因为底面是矩形所以底面是正方形所以，由，，，求得因为平面，平面所以所以在△中，所以二面角的正切值为图5方法二：如图所示，以点为坐标原点建立空间直角坐