《4.1.1数的概念的扩充》导学案1

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1、《4.1　数系的扩充和复数的概念》导学案课程学习目标1.了解引进复数的必要性，理解并掌握虚数单位i.2.理解复数的代数形式，复数虚部与实部.3.实数集、复数集、虚数集与纯虚数集的关系.课程导学建议重点:掌握复数的实部与虚部；实数、复数、虚数、纯虚数与复数的代数形式的实部、虚部的关系；两复数相等的充要条件.难点:体会复数问题实数化的过程.知识记忆与理解知识体系梳理创设情景由于解方程的需要推动了数的发展，为了使类似x+5=3的方程有解，引入了负数；为了使类似5x=3的方程有解，引入了分数；为了使类似x2=3的方程有解，引入了无理数.但引入无理数

2、后，类似x2=-1的方程在实数范围内仍然没解.知识导学问题1:为了得到方程x2=-1的解，需引入虚数单位i，试给出虚数单位i的定义？虚数单位i满足它的平方等于-1，即i2=-1　. 问题2:(1)复数:形如　a+bi(a，b∈R)　的数叫作复数. (2)复数集:全体复数所成的集合叫作复数集，用字母C表示.(3)复数的代数形式:复数通常用字母z表示，把复数表示成a+bi(a，b∈R)的形式，其中a与b分别叫作复数的实部与虚部　. (4)两个复数相等的定义:如果两个复数的实部和虚部分别相等，那么我们就说这两个复数相等.这就是说，如果a、b、c、

3、d∈R，那么a+bi=c+di⇔a=c，b=d.问题3:复数z=a+bi(a，b∈R)，当b=0时，复数z是实数；当b≠0时，复数z是虚数； 当时，复数z是纯虚数　. 问题4:两复数可不可以比较大小？当两复数是实数时，两复数可以比较大小；当两复数有一个是虚数时，两复数不能比较大小，只能分析两复数相不相等.知识链接“复数”“虚数”这两个名词，都是人们在解方程时引入的.为了用公式求一元二次、三次方程的根，就会遇到求负数的平方根的问题.1545年，意大利数学家卡丹诺在《大术》一书中，首先研究了虚数，并进行了一些计算.基础学习交流1.“a=0”是“

4、复数a+bi(a，b∈R)为纯虚数”的(　　).A.充分不必要条件　　　　B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【解析】a=0时，a+bi(a，b∈R)可能为纯虚数，也可能为0；a+bi为纯虚数时，a=0.所以答案为B.【答案】B2.复数z=-3-10i的实部是(　　).A.3　　　　B.-3　　　　C.-10i　　　D.10【解析】复数z=-3-10i的实部是-3.【答案】B3.若复数z1=a+

5、b

6、i，z2=c+

7、d

8、i(a、b、c、d∈R)，则z1=z2的充要条件是　　　　. 【解析】z1=z2，则它们的实部与虚部分别

9、相等，即a=c且

10、b

11、=

12、d

13、.【答案】a=c且b2=d2(或写成a=c且

14、b

15、=

16、d

17、)4.判断下列命题的真假:(1)-1的平方根只有一个；(2)i是1的4次方根；(3)i是方程x6-1=0的根；(4)方程x3-x2+x-1=0的根只有一个.【解析】(1)∵(-i)2=i2=-1，∴-i也是-1的平方根，故(1)为假命题.(2)∵i2=-1，∴i4=i2·i2=(-1)2=1，故(2)为真命题.(3)i6-1=i2·i2·i2-1=(-1)3-1=-2≠0，故(3)为假命题.(4)由x3-x2+x-1=0得(x2+1)(x-1)=0，则x

18、2=-1或x=1，即x=±i或x=1都是方程x3-x2+x-1=0的根，故(4)为假命题.思维探究与创新重点难点探究探究一对复数概念的理解已知下列命题:①复数a+bi不是实数；②两个复数不能比较大小；③若(x2-4)+(x2+3x+2)i是纯虚数，其中x∈R，则x=±2；④若复数z=a+bi，则当且仅当b≠0时，z为虚数；⑤若a+bi=c+di，则a=c且b=d.其中真命题的个数是(　　).A.0　　　　B.1　　　　C.3　　　　D.4【方法指导】根据复数的有关概念来判断命题的真假.【解析】①是假命题，因为当a∈R且b=0时，a+bi是实

19、数.②是假命题，因为两个复数都是实数时，可以比较大小.③是假命题，因为由纯虚数的条件得解得x=2.④是假命题，因为没有强调a，b∈R.⑤是假命题，因为没有强调，a，b，c，d∈R这一重要条件，故选A.【答案】A【小结】对于概念的理解注意一些小细节，比如a+bi中要求a∈R，b∈R.探究二复数概念的应用z=+(m2+5m+6)i，当实数m为何值时，(1)z是实数；(2)z是虚数；(3)z是纯虚数？【方法指导】根据复数的分类方式将问题转化为求实部和虚部应满足什么条件.【解析】(1)若z是实数，则得m=-2.(2)若z是虚数，则得m≠-2且m≠-

20、3且m∈R.(3)若z是纯虚数，则得m=3.【小结】①本题考查复数集的分类，给出的是复数的标准代数形式即z=a+bi(a，b∈R)，若不然，应先将其化为标准形式，再根据满足的条件