2012GCT入学资格考试(线代、几何、初代、算术)

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1、第五部分线性代数第一节行列式[考试要求]行列式，行列式的概念和性质，行列式按行展开定理，行列式的计算[内容综述]一、行列式及有关概念1、定义：特征：方形数阵，两边加上；或行列式是对个数所作特定运算的记号，结果是一个数。元素aij的代数余子式：元素aij的余子式：，去掉aij所在的i行，j列剩下的元素按原来的次序组成的n-1阶行列式主对角线：（行列式中从左上角到右下角的对角线）2、特殊行列式上、下三角行列式，行列式D的转置行列式DT（由D的行换成列，列换成行所得，DT与D成对出现）。注意：对角与上、下三角行

2、列式值是主对角线元素乘积。二、行列式的性质1、行列互换，行列式的值不变，即D=DT；2、两行（或两列）互换，行列式的值变号；3、某一行（或某一列）的公因子，可提到行列式之外；4、按某一行（或某一列）拆开，原行列式是两个特定行列式之和；5、一行（或一列）的倍数加到另一行（或另一列），行列式的值不变；6、行列式等于其任一行（或一列）的元素乘以该行（或列）元素的相应的代数余子式的和；即7、行列式中某一行（或某一列）元素与另一行（或列）对应元素的代数余子式之和为零8、行列式有零行（或列），行列式的值为零。反之如何

3、？9、两行（或两列）对应元素相等（或成比例)，行列式的值为零。反之如何？三、行列式的计算[总体思路：根据行列式特点，运用性质将行列式恒等变形，化成上（下）三角或某行（或列）除一个元素外其余均为零。]1、用定义公式；2、按行（或列）展开：用性质6；3、先做变换：初等变换、逐行相加减、拆项、递推关系等；4、重要关系式：（A，B分别为m，n阶矩阵）例1计算D=例2证明=例3a,b为何值时，三阶行列式例4设A为n阶矩阵，且︱A︱=0，则矩阵A中[]（A）必有一行元素全为零；（B）必有两行元素对应成比例；（C）必有

4、一行向量是其余行向量的线性组合；（D）任意行向量必是其余行向量的线性组合。第二节矩阵[考试要求]矩阵的概念，矩阵的运算，逆矩阵，矩阵的初等变换。[内容综述]一、矩阵的概念（本质上是数表）m×n矩阵、零矩阵、同型阵、矩阵相等、对角阵、数量阵、单位阵、三角阵、(转置矩阵、对称阵、反对称阵)。二、矩阵的运算1、加法（注意同型矩阵才可相加）；2、数乘（注意每一元素都乘该数）；3、乘法（注意左矩阵列数等于右矩阵行数）；4、转置①定义:A的行换成相应的列所得矩阵,称为A的转置,记为AT；②性质：5、方阵的行列式三、逆

5、矩阵1、定义：A为n阶方阵，若有n阶方阵B，使得，则称A可逆。A的逆记为A-1。即可逆矩阵也称为非奇异矩阵，非退化矩阵。2、方阵A可逆的充要条件：A可逆；3、伴随矩阵：4、逆矩阵的性质：5、逆矩阵的求法：①利用伴随矩阵；②利用定义；③利用性质；④初等行变换四、初等行变换1、定义2、初等行变换求逆矩阵五、矩阵的秩1、定义2、计算3、相关结论例1设，，且︱A︱=2，︱B︱=3，求︱BC︱例2设A是m×n矩阵，B是n×m矩阵，则[]（A）当m＞n时，必有行列式︱AB︱=0；（B）当m＞n时，必有行列式︱AB︱≠

6、0；（C）当n＞m时，必有行列式︱AB︱=0；（D）当n＞m时，必有行列式︱AB︱≠0。例3设例4设n阶矩阵A满足，证明A及A+2E都可逆，并求及例5设A是四阶矩阵，E是四阶单位阵，存在，且，则=[]（A）（B）E+A（C）（D）不存在例6设A是3阶矩阵，，求第三节向量[考试要求]n维向量，向量组的线性相关和线性无关，向量组秩和矩阵秩的关系。[内容综述]一、n维向量的概念与运算（与矩阵有关运算类似）1、n维向量：n个有顺序的数组成的数组（有序数组）称为向量。记为n维行向量，n维列向量，零向量，负向量2、向

7、量相等：同维，分量对应相等；3、向量加法：同维，分量对应相加；4、向量数乘k(k为常数)：每一分量都乘以该数；5、向量点积：(分量表示为)，其中，6、向量运算的性质(加法和数乘的线性运算)。二、向量组的线性相关和线性无关1、线性表出定义2、向量组的线性相关和线性无关3、常用相关结论：①一个向量的向量组线性相关；②两个同维向量的向量组线性相关；③n维向量组线性相关中至少有一个向量可由其余s-1个向量组线性表出；齐次线性方程组有非零解；矩阵的秩；（此条等价：无关）④含零向量的向量组必线性相关；⑤线性相关的向量

8、组中，增加向量后，仍线性相关（相关缩维仍相关）；线性无关的向量组中，减少向量后，仍线性无关（无关扩维仍无关）；⑥向量组线性无关，向量组线性相关，则可由向量组线性表出。（线性无关的向量组增加向量后线性相关，则增加进去的向量可由原向量组线性表出）；⑦n+1个n维向量必线性相关（个数多于维数）；⑧n个n维向量线性相关；n个n维向量线性无关。三、向量组的秩1、最大线性无关组与向量组的秩①定义②性质③求法2、矩阵的秩与向量组秩的关系：矩