单缝夫琅和费衍射光强分布的3种计算方法

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1、第３４卷第２期辽宁科技大学学报Ｖｏｌ．３４Ｎｏ．２２０１１年４月ＪｏｕｒｎａｌｏｆＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙｏｆＳｃｉｅｎｃｅａｎｄＴｅｃｈｎｏｌｏｇｙＬｉａｏｎｉｎｇＡｐｒ．，２０１１单缝夫琅和费衍射光强分布的３种计算方法姜丽娜（辽宁科技大学理学院，辽宁鞍山１１４０５１）摘要：运用三角函数，采用积分法和数值计算定量计算了夫琅和费衍射光强分布，并用给出了定量计算结果。计算结果表明，菲涅尔半波带法所得暗纹公式和中央零级明纹是精确值，而明纹公式则是近似值；本文结果与振幅矢量法的结果相同。关键词：单缝夫琅和费

2、衍射光强分布；衍射角；电场强度中图分类号：Ｏ４３６．１文献标识码：Ａ文章编号：１６７４－１０４８（２０１１）０２－０１２３－０６［１］大学物理教程中关于单缝夫琅和费衍射光强分布的内容，一般采用菲涅尔半波带法定性讨论或［２－３］［４］［５］者振幅矢量法半定量讨论，也有采用积分法讨论，但是要用到复变函数，或者利用积分和作图法［４－６］半定量讨论。在分析衍射图样的光强分布时，通常可以根据光源和观察点到障碍物的距离，把衍射现象分为两类。第一类是障碍物到光源和观察点的距离都是有限的，或其中之一是有限的，称为

3、菲涅尔衍射现象，或称近场衍射。第二类是障碍物到光源和观察点的距离可以认为是无限远的，即实验上使用的是平行光束。这种特殊的衍射现象，称为夫琅和费衍射，或称为远场衍射，本文用三种方法对单缝夫琅和费衍射现象进行详细的讨论。１单缝夫琅和费衍射装置及现象设一束平行光，垂直照射在缝宽为ａ的狭缝上，在衍射观察屏对应于衍射角为θ的Ｐ点处的光强如图１所示。衍射角θ为衍射光线与波面法线夹角，－９０°≤θ≤９０°，设θ从法线逆时针转动为正，顺时针转动为负。图１单缝夫琅和费衍射装置及现象Ｆｉｇ．１Ｄｅｖｉｃｅａｎｄｐｈｅ

4、ｎｏｍｅｎｏｎｏｆｓｉｎｇｌｅ－ｓｌｉｔＦｒａｕｎｈｏｆｅｒｄｉｆｆｒａｃｔｉｏｎ收稿日期：２０１０－１１－２０。作者简介：姜丽娜（１９６２－），女，湖南长沙人，副教授。·１２４·辽宁科技大学学报第３４卷２计算方法２．１菲涅尔半波带法把按θ角衍射的平行光分成许多个带子，每个带子边缘两束光的光程差为λ／２，当光线垂直照射在单缝上时，经单缝的两端Ａ和Ｂ点发出的子波到Ｐ点的最大光程差在图２中为线段ＡＣ的长度δ＝ＡＣ＝ａｓｉｎθ（１）δ２ａｓｉｎθＮ＝＝（２）λ／２λ图２单缝夫琅和费衍射菲涅尔半波带法原理

5、图Ｆｉｇ．２ＰｒｉｎｃｉｐｌｅｄｉａｇｒａｍｏｆＦｒｅｓｎｅｌｈａｌｆｗａｖｅｂａｎｄｍｅｔｈｏｄｏｆｓｉｎｇｌｅ－ｓｌｉｔＦｒａｕｎｈｏｆｅｒｄｉｆｆｒａｃｔｉｏｎ（１）当Ｎ＝０时，衍射角θ＝０，所有光线等光程经透镜聚焦在屏幕Ｏ点，对应中央明纹中心ａｓｉｎθ＝０（３）（２）当Ｎ为偶数时，按θ角衍射的光被分成偶数个半波带，相邻两个半波带中对应光线位相差为π，两两相消经过透镜聚焦在屏上Ｐ点，干涉相消则为暗λａｓｉｎθ＝±２ｋ＝±ｋλ（４）２（３）当Ｎ为奇数时，按θ角衍射的光被分成奇数个半波带，剩下一

6、个半波带中的衍射光线未被抵消，经过透镜聚焦在屏上Ｐ点，干涉加强则为明ａｓｉｎθ≈±（２ｋ＋１）λ（５）２（４）Ｎ≠整数时，对应非明、暗纹中心的其余位置，光强介于明暗之间ａｓｉｎθ≠ｋλ（６）２２．２振幅矢量叠加法（定量）将缝宽ａ划分为Ｎ个等宽（ａ／Ｎ）的狭窄波带，设每个波带内能量集中于图３中所示光线，两相邻光线光程差ａδ＝ｓｉｎθ（７）Ｎ位相差δ２πａΔφ＝２π＝ｓｉｎθ（８）λλＮ每条光线在屏上引起光振动振幅相等，即Ａ１＝Ａ２＝…＝ＡＮ。用多边形法则进行Ｎ个大小相等、两两依次相差为Δφ的光振动的

7、叠加如图３中所示，分振动振幅Ａ１＝２ＲｓｉｎΔφ（９）２合振动振幅第２期姜丽娜：单缝夫琅和费衍射光强分布的３种计算方法·１２５·ＮΔφＡ＝２Ｒｓｉｎ（１０）２两式中消去Ｒ，得Δφ→０条件ＮΔφＮΔφＮΔφｓｉｎｓｉｎｓｉｎ２２２Ａ＝Ａ１≈Ａ１＝ＮＡ１（１１）ΔφΔφΔφｓｉｎＮ２２２Ａ０＝ＮＡ１，即中央明纹中心处振幅。图３单缝夫琅和费衍射振幅矢量叠加法原理图Ｆｉｇ．３Ｐｒｉｎｃｉｐｌｅｄｉａｇｒａｍｏｆａｍｐｌｉｔｕｄｅｖｅｃｔｏｒｓｕｐｅｒｐｏｓｉｔｉｏｎｍｅｔｈｏｄｏｆｓｉｎｇｌｅ－ｓｌｉｔＦ

8、ｒａｕｎｈｏｆｅｒｄｉｆｆｒａｃｔｉｏｎ当Ｎ→∞，Ｎ个相接的矢量将变为一个圆弧（见图４）ａｓｉｎθΔΦ＝ＮΔφ＝２πλＡ２ＲｓｉｎΔΦ（１２）ｐ＝２图４振幅矢量叠加法原理图Ｆｉｇ．４ＰｒｉｎｃｉｐｌｅｄｉａｇｒａｍｏｆａｍｐｌｉｔｕｄｅｖｅｃｔｏｒｓｕｐｅｒｐｏｓｉｔｉｏｎｍｅｔｈｏｄＡ０＝ＲΔΦ，即中央明纹中心处振幅Ａ２Ａ０ｓｉｎΔΦ＝Ａ０ｓｉｎΔΦ（１３）ｐ＝ΔΦ２ΔΦ／２２令ｕ＝ＮΔΦ＝Ｎ２πδ＝πａｓｉｎθ（１４）２２λλ则２ｓｉｎｕｓｉｎｕＡ＝Ａ０（）Ｉ＝Ｉ０（１５）ｕ（