1.3.1 函数的单调性

《1.3.1 函数的单调性》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、1.3函数的基本性质1.3.1函数的单调性【学习目标】1．通过已学过的函数特别是二次函数，理解函数的单调性及其几何意义．2．能够熟练应用定义判断函数在某区间上的单调性．3．学会运用函数图象理解和研究函数的性质．1．增函数与递增区间设函数f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内某个区间D上的_____两个自变量的值x1，x2，当x1＜x2时，都有__________，那么就说函数f(x)在区间D上是增函数，区间D称为函数f(x)的单调递增区间．任意f(x1)＜f(x2)2．减函数与递减区间设函数f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内某个区间D上的_____两个自变量的值x1，x2，当

2、x1＜x2时，都有_________，那么就说函数f(x)在区间D上是减函数，区间D称为函数f(x)的单调递减区间．任意f(x1)＞f(x2)3．单调性与单调区间如果函数y＝f(x)在区间D上是_________________，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做y＝f(x)的____________．增函数或减函数单调区间练习1：函数y＝x2在区间[－8，－2]上是______函数，在区间[2,3]上是______函数．减增)C练习2：下列函数在区间(0,2)上是增函数的是(题型1用定义证明函数的单调性[1，＋∞)上是增函数．思维突破：证明的关键是对

3、f(x1)－f(x2)进行变形，尽量变形成几个最简单的因式的乘积形式．证明：设任意的x1，x2∈(0,1]，且x10.∴f(x1)－f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)．同理可证：f(x)在[1，＋∞)上是增函数．(1)利用增函数、减函数的定义证明或判断函数的单调性的步骤是：设出指定区间上的任意两个值→作差→变形→判断符号→下结论．数，在(－1,0)上为减函数；在(－∞，－1]上为增函数．(3)解答本题易出现以下的错误结论：f(x)在(－1,0)∪(0,1]上是减函数，在(－∞，－1]∪[1，＋∞)上是增

4、函数，或说f(x)在(－∞，0)∪(0，＋∞)上是单调函数．排除障碍的关键是正确理解函数单调性的概念．注意：函数的单调性是对某个区间而言的，而不是两个或两个以上不相交的区间的并集．【变式与拓展】1．用函数单调性的定义证明：f(x)＝－2x2＋3x＋c(c为常数)由x10，题型2利用函数的图象求函数的单调区间【例2】画出函数y＝－x2＋2

5、x

6、＋3的图象，并指出函数的单调区间．思维突破：准确画出函数的图象，根据函数图象写出其单调区间．函数的图象如图D9.图D9∴函数的单调递增区间是(－∞，－1]，(0,1]，单调递减区间是(－1，0]，(1，＋∞)．研究函数单调区

7、间的一般方法有：图象法、定义法及利用已知函数的单调性．数形结合始终是研究函数性质及其应用的重要思想．【变式与拓展】2．如图1-3-1，已知函数y＝f(x)的图象，根据图象说出函数的单调区间，以及在每一个区间上，它是增函数还是减函数．图1-3-1解：函数y＝f(x)的单调递减区间有[－3，－2)，[0,2)，∴y＝f(x)在区间[－3，－2)，[0,2)上是减函数．单调递增区间有[－2,0)，[2，＋∞)，∴y＝f(x)在区间[－2,0)，[2，＋∞)上是增函数．3．求函数f(x)＝

8、x2－x－12

9、的单调区间．作出函数的简图，如图D10.观察其图象，知函数f(x)的单调递增区间为和[

10、4，＋∞)；单调递减区间为(－∞，－3)和.图D10题型3函数单调性的应用【例3】(1)若函数f(x)＝x2＋2(a－1)x－1在区间(－∞，4]上是减函数，求实数a的取值范围；的取值范围．思维突破：(1)处理二次函数的单调性问题需要对对称轴进行讨论．(2)处理含参数的二次函数需要对参数进行讨论．解：(1)f(x)＝x2＋2(a－1)x－1，其对称轴为x＝－2(a－1)2×1＝1－a，若二次函数在(－∞，4]上是减函数，必须满足1－a≥4，解得a≤－3.当k>0时，抛物线开口向上，在[0，＋∞)上不可能单调递减；综上所述，k≤0.对已知函数在某区间D上的单调性，求参数取值范围的问题，

11、可先由函数本身求得的单调区间视为I(函数在D和I上单调性相同)，进而利用D⊆I求得参数．【变式与拓展】数，则实数b的取值范围为()解析：令f1(x)＝(2b－1)x＋b－1(x＞0)，f2(x)＝－x2＋(2－b)x(x≤0)，要使f(x)在R上为增函数，须有f1(x)单调递增，f2(x)单调递增，且f2(0)≤f1(0)，答案：A过坐标原点，对称轴是x＝.∴区间[2,4]应在直线x＝的左侧或右侧，【例4】已知函数f(x)＝－x2＋kx在[2,4]上是单调