中学数学研究-陕140409高中数学人教A版直线的倾斜角与斜率教材研读

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1、资料编号15278直线和圆的方程倾斜角斜率阮伟强发表在陕140409上属于教法、辅导、教材题为《高中数学人教A版直线的倾斜角与斜率教材研读》1问题的提出课改以来，如何展开“直线的倾斜角与斜率”的教学，-.直是广大一线教师关注的热点。有数据为证:各级各类中学数学杂志刊载的相关教学案例不下十则。纵观这些案例会发现:无论是践行新课程理念、深化概念教学，还是对一些备受争议的教学难点的处理，都做了积极的探索与大胆的实践，给我们的日常教学以较大的启示。但美中不足的是，在注重“干什么”的同时，少了“为什么”的思辨

2、与解释，尤其是缺少了“对话教材”这一十分重要的环节。为弥补这一不足，笔者将自己研读教材的成果呈现如下，以期为大家进行相关内容教学的再设计，提供一定的参考与帮助。2准备那么，在走进教材之前，我们该做些什么准备呢？笔者认为，至少需做以下三方面的工作：（1)仔细阅读《普通高中数学课程标准（实验）》(下面简称“课标”）。只有对“课标”要求了然于胸，教材的研读才能有的放矢。“课标”中关于“直线的倾斜角与斜率”的要求是：①在平面直角坐标系中，结合具体图形，探索确定直线位置的几何要素；②理解直线的倾斜角和斜率的概

3、念，经历用代数方法刻画直线斜率的过程，掌握过两点的直线斜率的计算公式；③在平面解析几何初步的学习过程中，体会用代数方法处理几何问题的思想(下面简称“课标”①、“课标”②、“课标”③）。（2)再读《全日制普通高级中学教科书第二册（上）》（下面简称大纲版）中“直线的倾斜角与斜率”的内容，目的是，在比较中找“变化”，以“变化”为切人点，去思考“为什么”，使得教材的研读可操作、可量化、更有针对性。(3)全方位了解在学习相关内容之前，学生的知识储备和认知基础。例如，教材是借“坡度”概念来生成直线的斜率概念，那

4、么，学生对“坡度”概念熟悉吗？熟悉到何种程度？这要求我们对初中数学教材也要有相当的了解，当然，和学生进行必要的交流与沟通是最有效的。3研读教材这里，需先说明两点：（1)为突出重点，不再拘泥于教材内容的编写顺序，而是将重心落在概念、相同栏目与板块的分类研读上。（2)适度对接相关案例中存在的一些误区，做必要的剖析与反思。3.1倾斜角的定义关于直线的倾斜角，大纲版的定义是：“在平面直角坐标系中，对于一条与x轴相交的直线，如果把;c轴绕着交点按逆时针方向旋转到和直线重合时所转的最小正角记为《，那么《就叫做直

5、线的倾斜角。”而课标版（人教A版《数学2》）的定义是:“当直线/与x轴相交时,x轴正向与直线/向上方向之间所成的角«叫做直线Z的倾斜角。”有教师认为，课标版如此定义实属“无奈”之举，因为在此前的教材内容中还未介绍任意角的概念。对此，笔者并不认同，理由是，（1)大纲版定义中，不光前面描述的“逆时针方向旋转”与后面的“正角”有语义重复之嫌，且整个叙述因不够简洁、抽象程度高，而难以理解、记忆困难；（2)课标版定义中，只给出角的两边，没有具体说明是怎样的角，看似不够严密，实乃恰到好处。因为完全符合数学中表示

6、几何背景下的“角”的习惯：能用小的就不用大的，能用正的就不用负的。同样，在此前的教材中，空间的三个“角”也是这样处理的：异面直线与线面所成的角，都是用两条相交直线所成角的较小角来表示；二面角的平面角，教材根本没有指出它是什么范围的角，因为大家都默认了它是一个锐角、直角或钝角。因此，当直线与：r轴平行时，教材就十分自然地定义它的倾斜角为〇°而不是180°。当然，像这种属于常识性的数学知识，教师可做适当的说明性讲解，让学生明白背后的道理：力求简单、实用、便于计算的原则。总之，课标版就倾斜角的定义是简洁、

7、自然、清楚的，有利于学生的理解与记忆。因此，文献[1]中将课标版定义中“所成的角”修改为“所成的最小正角”是没有必要的。3.2斜率概念的生成’与大纲版直接抛出斜率概念不同，课标版可以说是做了浓墨重彩的描述，突出了概念的生成过程（课标版教材第83页）。表现在：首先，呈现了日常生活中，表示倾斜面的“坡度”概念，并给出直观解释，如图出的是：斜率是对直线倾斜程度的代数刻画，是解析几何的本质。至此，可以清楚地看出，教材借斜率概念的生成在告诉我们：“数学教学要‘讲背景，讲思想，讲应用’，概念教学则要强调让学生经

8、历概念的概括过程。由于‘数学能力就是以数学概括为基础的能力’，因此重视数学概念的概括过程对发展学生的数学能力具有基本的重要性。”[2]3.3斜率公式课标教材在第84页介绍了斜率公式的推导，其思路是：先呈现直线的方向向上时的情形.采用过点P1、P2分别作两坐标轴的平行线，构造直角三角形来完成。从表面看，此方法不及大纲版用向量来推导显得简洁，但细加研究会揣摩出编者的两个独特意图：一是直角三角形的构造学生容易想到（受上图的启发），更重要的是为后续内容的学习，留下了“伏笔”。