【高考数学】2007年理科分章节详解--“立体几何”题

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1、2007年高考“立体几何”题1．(全国Ⅰ)如图，正四棱柱中，，则异面直线与所成角的余弦值为（　　）A．B．C．D．解：如图，连接BC1，A1C1，∠A1BC1是异面直线与所成的角，设AB=a，AA1=2a，∴A1B=C1B=a，A1C1=a，∠A1BC1的余弦值为，选D。一个等腰直角三角形的三个顶点分别在正三棱柱的三条侧棱上．已知正三棱柱的底面边长为2，则该三角形的斜边长为．解：一个等腰直角三角形DEF的三个顶点分别在正三棱柱的三条侧棱上，∠EDF=90°，已知正三棱柱的底面边长为AB=2，则该三角形的斜边EF上的中线DG=.∴斜边EF的长为2。四棱锥中，底面为平行四边形，侧面底面．已

2、知，，，．（Ⅰ）证明；（Ⅱ）求直线与平面所成角的大小．解法一：（Ⅰ）作，垂足为，连结，由侧面底面，得底面．因为，所以，又，故为等腰直角三角形，，由三垂线定理，得．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，依题设，故，由，，，得，．DBCAS的面积．连结，得的面积设到平面的距离为，由于，得，解得．设与平面所成角为，则．所以，直线与平面所成的我为．解法二：（Ⅰ）作，垂足为，连结，由侧面底面，得平面．因为，所以．又，为等腰直角三角形，．DBCAS如图，以为坐标原点，为轴正向，建立直角坐标系，，，，，，，，所以．（Ⅱ）取中点，，连结，取中点，连结，．，，．，，与平面内两条相交直线，垂直．所以平面，与的夹角记为，与平面

3、所成的角记为，则与互余．，．，，所以，直线与平面所成的角为．2．(全国II)已知正三棱柱的侧棱长与底面边长相等，则与侧面所成角的正弦值等于（）A．B．C．D．解：已知正三棱柱ABC－A1B1C1的侧棱长与底面边长相等，取A1C1的中点D1，连接BD1，AD1，∠B1AD1是AB1与侧面ACC1A1所成的角，，选A。一个正四棱柱的各个顶点在一个直径为2cm的球面上．如果正四棱柱的底面边长为1cm，那么该棱柱的表面积为cm．解：一个正四棱柱的各个顶点在一个直径为2cm的球面上。正四棱柱的对角线的长为球的直径，现正四棱柱底面边长为1cm，设正四棱柱的高为h，∴2R=2=，解得h=，那么该棱柱

4、的表面积为2+4cm2.AEBCFSD如图，在四棱锥中，底面为正方形，侧棱底面分别为的中点．（1）证明平面；（2）设，求二面角的大小．解法一：（1）作交于点，则为的中点．连结，又，故为平行四边形．，又平面平面．所以平面．（2）不妨设，则为等腰直角三角形．AEBCFSDHGM取中点，连结，则．又平面，所以，而，所以面．取中点，连结，则．连结，则．故为二面角的平面角．所以二面角的大小为．AAEBCFSDGMyzx解法二：（1）如图，建立空间直角坐标系．设，则，．取的中点，则．平面平面，所以平面．（2）不妨设，则．中点又，，所以向量和的夹角等于二面角的平面角．．所以二面角的大小为．3．（北京

5、卷）平面平面的一个充分条件是（　　）Ａ．存在一条直线Ｂ．存在一条直线Ｃ．存在两条平行直线Ｄ．存在两条异面直线解：平面平面的一个充分条件是“存在两条异面直线”，选D。如图，在中，，斜边．可以通过以直线为轴旋转得到，且二面角是直二面角．动点的斜边上．（I）求证：平面平面；（II）当为的中点时，求异面直线与所成角的大小；（III）求与平面所成角的最大值．解：（I）由题意，，，是二面角是直二面角，又二面角是直二面角，，又，平面，又平面．平面平面．（II）作，垂足为，连结（如图），则，是异面直线与所成的角．在中，，，．又．在中，．异面直线与所成角的大小为．（III）由（I）知，平面，是与平面所成

6、的角，且．当最小时，最大，这时，，垂足为，，，与平面所成角的最大值为．4．（天津卷）设为两条直线，为两个平面.下列四个命题中，正确的命题是（）A.若与所成的角相等，则B.若，则C.若则D.若则解：对于A当与均成时就不一定；对于B只需找个，且即可满足题设但不一定平行；对于C可参考直三棱柱模型排除，故选D.一个长方体的各顶点均在同一球的球面上，且一个顶点上的三条棱的长分别为，则此球的表面积为.解：长方体外接球直径长等于长方体体对角线长，即，故.APEBCD如图，在四棱锥中,底面是的中点.(I)证明；(II)证明平面；(III)求二面角的大小.【分析】(I)证明：在四棱锥中，因底面平面故.平

7、面.而平面.(II)证明：由可得.是的中点，.由(I)知，且所以平面.而平面.底面在底面内射影是.又综上得平面.(III)解法一：过点作垂足为连结.由(II)知，平面在平面内的射影是则.因此是二面角的平面角.由已知，得.设可得MAPEBCD在中，.则在中，所以二面角的大小是解法二：由题设底面平面则平面平面交线为过点作垂足为故平面过点作垂足为连结故因此是二面角的平面角.APEBCDMF由已知，可得.设可得∽于是，在中，所以二面角的大小是5．(上海