2020版高考数学复习计数原理、概率、随机变量及其分布第1讲分类加法计数原理与分步乘法计数原理讲义

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1、第1讲　分类加法计数原理与分步乘法计数原理[考纲解读]　1.理解两个计数原理(分类加法计数原理和分步乘法计数原理)．(重点)2.能正确区分“类”和“步”，并能利用两个计数原理解决一些简单的实际问题．(难点)[考向预测]　从近三年高考情况来看，对两个计数原理很少独立命题.预测2020年高考将会综合考查两个计数原理与排列组合知识.试题以客观题的形式呈现，难度不大，属中、低档题型.1．两个计数原理2．两个计数原理的区别与联系1．概念辨析(1)在分类加法计数原理中，两类不同方案中的方法可以相同．(　　)(2)在分步乘法计数原理中，只有各个

2、步骤都完成后，这件事情才算完成．(　　)(3)在分步乘法计数原理中，每个步骤中完成这个步骤的方法是各不相同的．(　　)(4)如果完成一件事情有n个不同的步骤，在每一步中都有若干种不同的方法mi(i＝1,2,3，…，n)，那么完成这件事共有m1m2m3…mn种方法．(　　)答案　(1)×　(2)√　(3)√　(4)√　　　　　　　　　　　　　　　　　　　2．小题热身(1)从甲地到乙地，每天飞机有5班，高铁有10趟，动车有6趟，公共汽车有12班．某人某天从甲地前往乙地，则其出行方案共有(　　)A．22种B．33种C．300种D．360

3、0种答案　B解析　由分类加法计数原理知共有5＋10＋6＋12＝33种出行方案．(2)某人有3个电子邮箱，他要发5封不同的电子邮件，则不同的发送方法有(　　)A．8种B．15种C．35种D．53种答案　C解析　发5封不同的电子邮件，分5步，每一步有3种方法，由分步乘法计数原理得不同的发送方法有35种．(3)从集合{0,1,2,3,4,5,6}中任取两个互不相等的数a，b组成复数a＋bi，其中虚数有(　　)A．30个B．42个C．36个D．35个答案　C解析　∵a＋bi为虚数，∴b≠0，即b有6种取法，a有6种取法，由分步乘法计数原理

4、知可以组成6×6＝36个虚数．(4)如图，要让电路从A处到B处接通(只考虑每个小并联单元只有一个开关闭合的情况)，可有________条不同的路径．答案　9解析　分以下三种情况计数．①第一层有3×2＝6种路径；②第二层有1种路径；③第三层有2种路径；由分类加法计数原理知，共有6＋1＋2＝9种路径．题型　分类加法计数原理的应用1．(2018·石家庄模拟)满足a，b∈{－1,1,2}，则关于x的方程ax2＋2x＋b＝0有实数解的有序数对(a，b)的个数为(　　)A．9B．8C．7D．6答案　D解析　由a，b的取值可知，ax2＋2x＋b

5、＝0有实数解的条件为Δ＝22－4ab＝4－4ab≥0.当a＝－1时，b＝－1，1,2，共3种情况；当a＝1时，b＝－1,1，共2种情况；当a＝2时，b＝－1，有1种情况，共有3＋2＋1＝6种情况．2．已知椭圆＋＝1，若a∈{2,4,6,8}，b∈{1,2,3,4,5,6,7,8}，这样的椭圆有________个(　　)A．12B．16C．28D．32答案　C解析　解法一：若焦点在x轴上，则a>b，a＝2时，有1个；a＝4时，有3个；a＝6时，有5个；a＝8时，有7个，共有1＋3＋5＋7＝16个．若焦点在y轴上，则b>a，b＝3时，

6、有1个；b＝4时，有1个；b＝5时，有2个；b＝6时，有2个；b＝7时，有3个，b＝8时，有3个．共有1＋1＋2＋2＋3＋3＝12个．故共有16＋12＝28个．解法二：椭圆中a≠b，而a＝b有4种情况，故椭圆的个数为4×8－4＝28.1．分类加法计数原理的用法及要求(1)用法：应用分类加法计数原理进行计数时，需要根据完成事件的特点，将要完成一件事的方法进行“分类”计算．(2)要求：各类的方法相互独立，每类中的各种方法也相互独立，用任何一类中的任何一种方法都可以单独完成这件事．2．使用分类加法计数原理遵循的原则有时分类的划分标准有多

7、个，但不论是以哪一个为标准，都应遵循“标准要明确，不重不漏”的原则．提醒：对于分类类型较多，而其对立事件包含的类型较少的可用间接法求解．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　1．三个人踢毽子，互相传递，每人每次只能踢一下，由甲开始踢，经过4次传递后，毽子又被踢回给甲，则不同的传递方式共有(　　)A．4种B．6种C．10种D．16种答案　B解析　分两类：甲第一次踢给乙时，满足条件有3种方法(如图)，甲乙丙乙甲甲乙甲丙甲同理，甲先传给丙时，满足条件有3种踢法．由分类加法计数原理，共有3＋3＝6种传递方法．故选B.2．(2019·重庆模

8、拟)在平面直角坐标系内，点P(a，b)的坐标满足a≠b，且a，b都是集合{1,2,3,4,5,6)中的元素．又点P到原点的距离

9、OP

10、≥5，则这样的点P的个数为________．答案　20解析　依题意可知，当a＝1时，b＝5,6,2种情况；当a＝2