浙江2020版高考数学第三章函数概念与基本初等函数ⅰ3.4幂函数与二次函数讲义（含解析）

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1、§3.4　幂函数与二次函数最新考纲考情考向分析1.了解幂函数的概念，掌握幂函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝，y＝x的图象和性质．2.了解幂函数的变化特征．3.了解一元二次函数、一元二次方程、一元二次不等式之间的联系．会解一元二次不等式.以幂函数的图象与性质的应用为主，常与指数函数、对数函数交汇命题；以二次函数的图象与性质的应用为主，常与方程、不等式等知识交汇命题，着重考查函数与方程，转化与化归及数形结合思想，题型一般为选择、填空题，中档难度.1．幂函数(1)幂函数的定义一般地，形如y＝xα的函数称为幂函数，其中x是自变量，α是常数．

2、(2)常见的五种幂函数的图象和性质比较函数y＝xy＝x2y＝x3y＝y＝x－1图象性质定义域RRR{x

3、x≥0}{x

4、x≠0}值域R{y

5、y≥0}R{y

6、y≥0}{y

7、y≠0}奇偶性奇函数偶函数奇函数非奇非偶函数奇函数单调性在R上单调递增在(－∞，0]上单调递减；在(0，＋∞)上单调递增在R上单调递增在[0，＋∞)上单调递增在(－∞，0)和(0，＋∞)上单调递减公共点(1,1)2.二次函数的图象和性质解析式f(x)＝ax2＋bx＋c(a>0)f(x)＝ax2＋bx＋c(a<0)图象定义域RR值域单调性在x∈上单调递减；在x∈上单调递增在

8、x∈上单调递增；在x∈上单调递减对称性函数的图象关于直线x＝－对称概念方法微思考1．二次函数的解析式有哪些常用形式？提示　(1)一般式：y＝ax2＋bx＋c(a≠0)；(2)顶点式：y＝a(x－m)2＋n(a≠0)；(3)零点式：y＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)．2．已知f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，写出f(x)≥0恒成立的条件．提示　a>0且Δ≤0.题组一　思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，x∈[a，b]的最值一定是.(　×　)(2)在y＝ax2

9、＋bx＋c(a≠0)中，a决定了图象的开口方向和在同一直角坐标系中的开口大小．(　√　)(3)函数y＝2是幂函数．(　×　)(4)幂函数的图象一定经过点(1,1)和点(0,0)(　×　)(5)如果幂函数的图象与坐标轴相交，则交点一定是原点．(　√　)(6)当n<0时，幂函数y＝xn是定义域上的减函数．(　×　)题组二　教材改编2．[P79B组T1]已知幂函数f(x)＝k·xα的图象过点，则k＋α等于(　　)A.B．1C.D．2答案　C解析　由幂函数的定义，知∴k＝1，α＝.∴k＋α＝.3．[P44A组T9]已知函数f(x)＝x2＋4ax

10、在区间(－∞，6)内单调递减，则a的取值范围是(　　)A．a≥3B．a≤3C．a<－3D．a≤－3答案　D解析　函数f(x)＝x2＋4ax的图象是开口向上的抛物线，其对称轴是x＝－2a，由函数在区间(－∞，6)内单调递减可知，区间(－∞，6)应在直线x＝－2a的左侧，∴－2a≥6，解得a≤－3，故选D.题组三　易错自纠4．幂函数f(x)＝(a∈Z)为偶函数，且f(x)在区间(0，＋∞)上是减函数，则a等于(　　)A．3B．4C．5D．6答案　C解析　因为a2－10a＋23＝(a－5)2－2，f(x)＝(a∈Z)为偶函数，且在区间(0，＋

11、∞)上是减函数，所以(a－5)2－2<0，从而a＝4,5,6，又(a－5)2－2为偶数，所以只能是a＝5，故选C.5．已知函数y＝2x2－6x＋3，x∈[－1,1]，则y的最小值是______．答案　－1解析　函数y＝2x2－6x＋3的图象的对称轴为x＝>1，∴函数y＝2x2－6x＋3在[－1,1]上单调递减，∴ymin＝2－6＋3＝－1.6．设二次函数f(x)＝x2－x＋a(a>0)，若f(m)<0，则f(m－1)________0.(填“>”“<”或“＝”)答案　>解析　f(x)＝x2－x＋a图象的对称轴为直线x＝，且f(1)>0，

12、f(0)>0，而f(m)<0，∴m∈(0,1)，∴m－1<0，∴f(m－1)>0.题型一　幂函数的图象和性质1．若幂函数的图象经过点，则它的单调递增区间是(　　)A．(0，＋∞)B．[0，＋∞)C．(－∞，＋∞)D．(－∞，0)答案　D解析　设f(x)＝xα，则2α＝，α＝－2，即f(x)＝x－2，它是偶函数，单调递增区间是(－∞，0)．故选D.2．若四个幂函数y＝xa，y＝xb，y＝xc，y＝xd在同一坐标系中的图象如图所示，则a，b，c，d的大小关系是(　　)A．d>c>b>aB．a>b>c>dC．d>c>a>bD．a>b>d>c答

13、案　B解析　由幂函数的图象可知，在(0,1)上幂函数的指数越大，函数图象越接近x轴，由题图知a>b>c>d，故选B.3．已知幂函数f(x)＝(n2＋2n－2)(n∈Z)的图象关于y轴对称，且在(0，＋∞)上